.. . . ..

（2）①连接AD，∵∠ADC=∠B=60°，CD是直径， ∴∠DAC=90°，∵AC=3， ∴AD=

，CD=2

，OC=

，

=

=

π．

当AB是直径时，四边形ADBC是矩形，此时②∵∠B=60°，

∴当BA=BC时，△ABC的面积最大，此时△ABC是等边三角形， ∴

=

=

π，S△ABC=

×32=

．

15．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．

（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．

（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8． ①△ABD的面积为 16 ． ②

的长

π ．

【解答】解：（1）∵AE=EC，BE=ED， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AB为直径，且过点E，

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∴∠AEB=90°，即AC⊥BD． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形．

（2）①连结OF．

∵CD的延长线与半圆相切于点F， ∴OF⊥CF． ∵FC∥AB，

∴OF即为△ABD中AB边上的高． ∴S△ABD=AB×OF=×8×4=16， ∵点O是AB中点，点E是BD的中点， ∴S△OBE=S△ABD=4．

②过点D作DH⊥AB于点H． ∵AB∥CD，OF⊥CF， ∴FO⊥AB，

∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．

∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4． ∵在Rt△DAH中，sin∠DAB=∴∠DAH=30°．

∵点O，E分别为AB，BD中点， ∴OE∥AD，

∴∠EOB=∠DAH=30°， ∴

的长度=

=π．

=，

故答案为：16，π．

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.. . . ..

16．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC． （1）求证：△PAC∽△PCB；

（2）点Q在半圆ADB上运动，填空： ①当AQ= 3 时，四边形AQBC的面积最大；

时，△ABC与△ABQ全等．

②当AQ= 3或3

【解答】（1）证明：如图1所示，连接OC． ∵PC是圆O的切线，OC是半径， ∴OC⊥PC， ∴∠PCO=90°

∴∠PCA+∠ACO=90°， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B+∠CAB=90°， ∵OC=OA， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠B+∠OCA=90°， ∴∠PCA=∠B， 又∵∠P=∠P， ∴△PAC∽△PCB；

（2）解：①当点Q运动到OQ⊥AB时，四边形AQBC的面积最大； 如图2所示：连接AQ、BQ， ∵OA=OB，OQ⊥AB， ∴OQ=BQ， ∵AB是直径，

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∴∠AQB=90°，

∴△ABQ是等腰直角三角形， ∴AQ=

AB=3

， ；

故答案为：3

②如图3所示：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴AC=AB=3，BC=分两种情况： a．当AQ=AC=3时， 在Rt△ABC和Rt△ABQ中，∴△ABC≌△ABQ（HL）； b．当AQ=BC=3

时，同理△ABC≌△BAQ；

时，△ABC与△ABQ全等．

，

AC=3

，

综上所述：当AQ=3或3

17．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P

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