.. . . ..

方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒． （1）若AC=5，则当t= 与⊙O相切；

（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．

时，四边形AMQN为菱形；当t=

时，NQ

【解答】解：（1）AP=t，CQ=t，则PQ=5﹣2t， ∵NM⊥AB， ∴PM=PN，

∴当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5﹣2t，解得t=； 当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，

OP=t﹣1，OQ=AC﹣OA﹣QC=5﹣1﹣t=4﹣t， ∵∠NOP=∠QON， ∴Rt△ONP∽Rt△OQN， ∴

=

，即

=

，

，t2=

（1≤t≤2.5，故舍去），

整理得t2﹣5t+5=0，解得t1=即当t=

时，NQ与⊙O相切；

；

故答案为，

学习参考

.. . . ..

（2）当AC的长为3时，存在t=1，使四边形AMQN为正方形．理由如下： ∵四边形AMQN为正方形． ∴∠MAN=90°， ∴MN为⊙O的直径， 而∠MQN=90°， ∴点Q在⊙O上， ∴AQ为直径， ∴点P在圆心， ∴MN=AQ=2，AP=1， ∴t=AP=1，CQ=t=1， ∴AC=AQ+CQ=2+1=3．

13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若BC=2填空： ①当②当

的长度是 的长度是

π 时，四边形ABDE是菱形； π或π 时，△ADE是直角三角形． ，E是半圆

上一动点，连接AE、AD、DE．

【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵∠BAC=90°，点D为BC的中点， ∴DB=DA=DC， ∵∠B=60°，

学习参考

.. . . ..

∴△ABD为等边三角形，

∴∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°， 而OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD=30°， ∴∠ODB=60°+30°=90°， ∴OD⊥BC，

∴BD是⊙O的切线；

（2）解：①∵△ABD为等边三角形， ∴AB=BD=AD=CD=

，

CD=1，

在Rt△ODC中，OD=

当DE∥AB时，DE⊥AC， ∴AD=AE，

∵∠ADE=∠BAD=60°， ∴△ADE为等边三角形， ∴AD=AE=DE，∠ADE=60°， ∴∠AOE=2∠ADE=120°， ∴AB=BD=DE=AE， ∴四边形ABDE为菱形， 此时

的长度=

=π；

的长度=的长度=

=π； =π，

②当∠ADE=90°时，AE为直径，点E与点F重合，此时当∠DAE=90°时，DE为直径，∠AOE=2∠ADE=60°，此时所以当

的长度为π或π时，△ADE是直角三角形．

故答案为π；π或π．

学习参考

.. . . ..

14．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若AC=3，填空： ①当②当

的长为 的长为

π 时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形； π 时，△ABC的面积最大，最大面积为

．

【解答】（1）证明：连接OA． ∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°， 又∵OA=OC，

∴∠ACP=∠CAO=30°， ∴∠AOP=60°， ∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°， ∴∠OAP=90°， ∴OA⊥AP，

∴AP是⊙O的切线，

学习参考