实验七 用三线摆测量刚体的转动惯量
【实验目的】
1. 学会正确测量长度、质量和时间。
2. 学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。
【实验器材】
三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。
【实验原理】
转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。三线摆就是测量刚体转动惯量的基本方法之一。
图1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关
‘
图1三线摆实验装置示意图 图2 三线摆原理图
系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。
设下圆盘质量为m0，当它绕OO扭转的最大角位移为?o时，圆盘的中心位置升高h，这时
＇
圆盘的动能全部转变为重力势能，有：
EP?m0gh （g为重力加速度）
1
当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为?0，重力势能被全部转变为动能，有：
EK?12I0?0 2‘
式中I0是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO轴的转动惯量。 如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：
m0gh?12I0?0 （1） 2 设悬线长度为l，下圆盘悬线距圆心为R0，当下圆盘转过一角度?0时，从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高h前、后下圆盘分别交于C和C1，如图2所示，则：
(BC)2?(BC!)2h?BC?BC1?BC?BC122222
因为 (BC)?(AB)?(AC)???(R?r)
(BC1)2?(A1B)2?(A1C1)2??2?(R2?r2?2Rrcos?0)
所以 h?2Rr(1?cos?0)2 ?BC?BC1BC?BC14Rrsin2?0在扭转角?0很小，摆长l很长时，sin
?02??02，而BC+BC1?2H，其中
22H=l?(R?r)
式中H为上下两盘之间的垂直距离,则
h?Rr?022H （2）
由于下盘的扭转角度?0很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角位移与时间的关系是
???0sin2?t T0式中，? 是圆盘在时间t时的角位移，?0是角振幅，?0是振动周期，若认为振动初位相是零，则角速度为：
2
??经过平衡位置时t=0 ,d?2??02??cost dtT0T013?0,?0,?0......的最大角速度为： 22 ?0?2??0 （3） T0将（2）、（3）式代入（1）式可得
I0?m0gRr2T0 （4） 24?H实验时，测出m0、R、r、H及T0，由（4）式求出圆盘的转动惯量I0。在下盘上放上另一个质量为m，转动惯量为I（对OO′轴）的物体时，测出周期为T，则有
I?I0?(m?m0)gRr2T （5） 24?H从（5）减去（4）得到被测物体的转动惯量I为
I?gRr22[(m?m)T?mT000] （6） 24?H在理论上，对于质量为m，内、外直径分别为d、D的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为
I?1dD1m[()2?()2]?m(d2?D2) 2228而对于质量为m0、直径为D0的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为
I0?1m0D02 8【实验步骤】
测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量
1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。
2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t0，重复测量5
3
次求平均值t0，计算出下盘空载时的振动周期T0。
3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。
4. 测出圆环质量（m）、内外直径（d、D）及仪器有关参量（m0,R,r和H等）。 因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于 L/3。 5.将实验数据填入下表中。先由（4）式推出I0的相对不确定度公式，算出I0的相对不确定度、绝对不确定度，并写出I0的测量结果。再由（6）式算出圆环
对中心轴的转动惯量I，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。
图3 下盘悬点示意图
【数据处理】
1. 实验数据表格
下盘质量m0? g， 圆环质量m? g 测 量 次 数 待 测 物 体 待 测 量 1 上 盘 半 径 R/m 有效半径/cm 下 盘 周 期T上、下盘 2 3 4 5 平均值 ?t50/S 垂直距离H/cm 内 径 d/cm 圆 环 外 径 D/cm 下盘加圆环 周 期T?t50/S
2. 根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达为：
4
下盘: I理论值? g?cm,
I0? g?cm, ?I0? g?cm I0＝I0??I0＝( ± ) g?cm 圆环: I理论值? g?cm,
I＝ g?cm, ?I＝ g?cm
2 I＝(I??I)＝ ± （g.Cm）
__22___222__2___2【思考题】
1. 在本实验中，计算转动惯量公式中的R0，是否就是下盘的半径? 它的值应从何处测量到何处?
2． 当待测物体的转动惯量比下盘的转动惯量小得多时，为什么不宜用三线摆法测量?
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