?3?10?2cos(4t??/6??/2) cos(4t?2?/3)

?3?10?2作两振动的旋转矢量图，如图所示. 由图得：合振动的振幅和初相分别为

A?(5?3)cm?2cm,???/3.

合振动方程为x?2?10?2题图5-27

cos(4t??/3)(SI)

（加题）3.一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数

J和动能0.02 J，求 (1) 振幅；(2) 动k?25N?m?1，如果起始振动时具有势能0.06

能恰等于势能时的位移；(3) 经过平衡位置时物体的速度． 解：(1) E?EK?Ep? (2)

12kA=0.08 A?22?0.08?0.08m 25121kx?mv2 ； k?m?2 ?m?2x2?m?2A2sin2(?t??) 222222222 x?Asin(?t??)?A[1?cos(?t??)]?A?x

2x2?A2，?x??A/2??0.0566m

(3) 过平衡点时，x?0，此时动能等于总能量

E?EK?Ep?1mv2=0.08 A?22?0.08?0.8m/s

0.25（加题）4. 一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k=25N/m,当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时,求: (1) 振幅是多大? (2) 位移多大时,其势能和动能相等? (3) 位移是振幅的一半时,势能是多大?

解: (1) 弹簧振子的总机械能为E?Ek?Ep?2(Ek?Ep)12kA,故A??0.253m 2k (2) Ep?Ek?21111A??0.179m E?kA2 kx2?kA2 x??22424121A2?0.20J (3) Ep?kx?k224波动部分：习题4.7、4.8、4.10

习题4.7有一平面简谐波在介质中传播，波速u = 100 m/s，波线上右侧距波源O（坐标原点）为75.0 m处的一点P的运动方程为

习题4.7图

yp?(0.30m)cos[(2?s?1)t??/2]。求（1）波向x轴正方向传播时的波动方程；（2）

波向x轴负方向传播时的波动方程。

解：（1）设以波源为原点O，沿x轴正向传播的波动方程为 y?Acos???t?xu???0?

将 u = 100 m?s?1代人，且取x = 75 m得点P的运动方程为 yP?Acos???t?0.75s???0?

与题意中点P的运动方程比较可得 A = 0.30 m、??2?s?1、?0?2?。则所求波动方程为

y?(0.30m)cos[(2?s?1)(t?x/100m?s?1)]

(2)当沿x轴负向传播时，波动方程为 y?Acos???t?xu???0?

将 x = 75 m、u?100ms?1代人后，与题给点P的运动方程比较得A = 0.30 m、??2?s?1、?0???，则所求波动方程为

?1?1 y?(0.30m)cos[(2?s)(t?x/100m?s)??]

讨论：对于平面简谐波来说，如果已知波线上一点的运动方程，求另外一点的运动方程，也可用下述方法来处理：波的传播是振动状态的传播，波线上各点（包括原点）都是重复波源质点的振动状态，只是初相位不同而已。在已知某点

???0?2??x/?初相?0的前提下，根据两点间的相位差????0，即可确定未知点的

?初相?0。

1习题4.8已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?s时的波形如题图所示，

3且周期T为2s.

（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。

习题4.8图

解：由图可知A=0.1m，λ=0.4m，由题知T= 2s，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s。 波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定O点的初始相位。 （1） 由上式可知：O点的相位也可写成：φ=πt+Ф0

1由图形可知： t?s时y０=-A/2，v０＜0，∴此时的φ=2π／3，

32?1?将此条件代入，所以：????0 所以?0?

333O点的振动表达式y=0.1cos［πt+π/3］m

（2）波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m （3）A点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知：

A点的相位也可写成：φ=πt+ФA0

1由图形可知： t?s时y０=0，v０>0，∴此时的φ=-π／2，

3?15?将此条件代入，所以：?????A0 所以?A0??

236A点的振动表达式y=0.1cos［πt-5π/6］m

（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程，与（3）结果相同，所以： y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos［πt-5π/6］

可得到：xA?7?0.233m 30习题4.10 一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。

解：(1) 由图可知A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos（ωｔ＋φ） t=0s时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ=?习题4.10图

? 3 t=1s时 y=0 v<0 可知其相位为φ1=

? 2 代入振动方程， φ=??? ω＋φ= 32可得：ω=

5? T=2π/ω=12/5 65??ｔ-）cm 635?5x?（ｔ+）-]cm 643 则 y=0.5cos（

（2）沿x轴负方向传播，波动表达式：y=0.5cos[（3）根据已知的T=12/5，u?0.8m/s，可知：??48m 25?x25那么同一时刻相距1m的两点之间的位相差：???2????3.27rad

?24

（加题）1.如图，一平面波在介质中以波速u?20m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为y?3?10?2cos4?t(SI).

u

B A 1题图

(1)以A点为坐标原点写出波方程；

(2)以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波方程. 解：(1)坐标为x处质点的振动相位为

?t???4?[t?(x/u)]?4?[t?(x/20)] 波的表达式为 y?3?10?2cos4?[t?(x/20)](SI)

(2)以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为 ?t??'?4?[t?波的表达式为 y?3?10?2x?5](SI) 20x?5??cos4??t??

20?? y?3?10?2cos[4?(t?x)??](SI) 20（加题）2. 一平面谐波沿ox轴的负方向传播,波长为λ，P点处质点的振动规律如题图6－10所示.求:

（1）P点处质点的振动方程; （2）此波的波动方程；

（3）若图中d??/2,求O点处质点的振动方程.

分析 首先由已知振动规律结合旋转矢量图可得P点振动的初相与周期，从而得到其振动方程。波动方程则由P与原点的距离直接得到。波动方程中直接代入某点的坐标就可求出该点的振动方程。

解:（1）从图中可见T?4s,且t?0,ypo??A,??0??,则P点处质点的振动方程为