第3讲 二项式定理

一、选择题

1.(2016·四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( ) A.－15x4 C.－20ix4

B.15x4 D.20ix4

6－rr解析 (x＋i)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cri(r＝0，1，2，…，6)，令r＝2，6x424得含x4的项为C26xi＝－15x，故选A.

答案 A

?x1?n

2－3?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则2.(2017·漳州模拟)在???

x??展开式的常数项为( ) A.－7 C.－28

B.7 D.28

?x1?8n

2－3?的展开式的通项公式Tk＋1＝解析 依题意有2＋1＝5，∴n＝8.二项式???

x??1?8－kk8－4k12646??(－1)?2?C8x3，令8－3k＝0得k＝6，故常数项为T7＝(－1)?2?C8＝7.

????

k?

答案 B

3.(2015·湖北卷)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29

B.210

C.211

D.212

37

解析 由题意，Cn＝Cn，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选

A. 答案 A

?3?64.(2017·郑州质检)二项式?ax＋?的展开式的第二项的系为－3，则?ax2dx

6???－2的值为( )

5A.3 解析

7B.3

6－r??∵Tr＋1＝Cr6(ax)

C.3

r3?rr6－r?3?6－r

?＝C6a·??x， ?6??6?

11

D.3 153∴第二项的系数为C6a·6＝－3，∴a＝－1，

13－1?1??8?7a－12

∴?x2dx＝?xdx＝x|－2＝?－3?－?－3?＝3. ?3?????－2?

－2

答案 B

?1?10

5.(2016·海口调研)若(x－a)?x＋x?的展开式中x6的系数为30，则a等于( )

??

2

1

A.3 1B.2

C.1 D.2

1r?1?10r10－r??解析 依题意，注意到?x＋x?的展开式的通项公式是Tr＋1＝C10·x·?x?＝

????

10－2r?Cr，?x＋10·x

?

1?10

的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别x??

332

为C10、C210，因此由题意得C10－aC10＝120－45a＝30，由此解得a＝2，选D.

答案 D

12233nn123n6.已知C0n＋2Cn＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝729，则Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn等于

( ) A.63

B.64

C.31

D.32

0133nnnn解析 逆用二项式定理得Cn＋2Cn＋22C2n＋2Cn＋…＋2Cn＝(1＋2)＝3＝23n60729，即3n＝36，所以n＝6，所以C1n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2－Cn＝64－1＝63.

故选A. 答案 A

7.若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于( ) 3

A.4(3n－1)

3

B.4(3n－2)

3

C.2(3n－2)

3

D.2(3n－1)

解析 在展开式中，令x＝2得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－3（1－3n）3

1)nan，即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝＝2(3n－1).

1－3答案 D

8.(2017·九江模拟)(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为( ) A.－210 C.30

B.210 D.－30

210－解析 (x2－x＋1)10＝[(x2－x)＋1]10的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr10(x－x)r

20－2r－3r′′，对于(x2－x)10－r的通项公式为Tr′＋1＝(－1)r′Cr.令20－2r－r′＝3，10－rx

??r＝8，??r＝7，根据0≤r′≤10－r，r，r′∈N，解得?或?∴(x2－x＋1)10展开式中

???r′＝1?r′＝3，

173

x3项的系数为C810C2(－1)＋C10C3(－1)＝－90－120＝－210.

答案 A 二、填空题

9.(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答).

kkkk解析 (1－2x)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck6(－2x)＝C6(－2)·x，令k＝22得x2的系数为C26(－2)＝60.

答案 60

?21?510.(2016·山东卷)若?ax＋?的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝

x??________(用数字作答).

r5r?21?5r25－r－r5－r10－ax＋?的展开式的通项Tr＋1＝C5(ax)·x2＝C5a·x2，令10解析 ?

x??

53

－2r＝5，得r＝2，所以C25a＝－80，解得a＝－2.

答案 －2

11.若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________(用数字作答).

5－k解析 f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tk＋1＝Ck·(－1)k，T3＝C25(1＋x)5(1＋

x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10. 答案 10

12.若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________(用数字作答).

解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋36＋1

a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝2.令x＝0，得a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝36＋1

2－1＝364. 答案 364

13.(2017·青岛模拟)已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是( ) A.5

B.6

C.7

D.8

10－1解析 由二项式定理知an＝Cn10(n＝1，2，3，…，n).又(x＋1)展开式中二项

式系数最大项是第6项.∴a6＝C510，则k的最大值为6. 答案 B

14.在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( ) A.45 C.120

B.60 D.210

m解析 在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C6，在(1＋y)4的展开式中，yn的系nn30数为C4，故f(m，n)＝Cm6·C4.所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝C6C4＋211203C6C4＋C6C4＋C6C4＝120.