10．在体积为V的
立方形容器中有极大数目的三维平动子，其 ，式计算该系统在平衡情况下，的平动k
TmVh1.08232=()14222=++zyxnnn能级上粒子的分布数n与基态能级的分布数之比。0n解：根据Boltzmann分布I2 ,104==nn3 II
1 ,1 ,1013===nnn6 III
2 ,112==nn3 IV
1 ,202==nn3II
IIIIIVTotal363315(){}{}0 0 0 003 329.0
1.011expexpg g kTkT g g kT g g n n=
×?=??=εε基
态的统计权重，能级的统计权重（量子10=g()14222=++zyxnnn6=g数1，2，3），因此997.163329.00=×=n n1
1．若将双原子分子看作一维谐振子，则气体HCl分子与I2分子的振动能级间 隔分别是和。试分别计算上述两种分子在相邻振J 1 094.520?×J 10426.020?×动能级上分布数之比。 解：谐振子的能级为非简并的，且为等间隔分布的 ()? ? ? × =??=? + 2 7 1If
or 0.3553HClfor 10409.5
expk T n nj jε1
2．试证明离域子系统的平衡分布与定域子系统同样符合波尔兹曼分布，即{}expiiiN ngT q e=
-k略。 14．2
molN2置于一容器中，，试求容器中N2分子的平动kPa 50 K, 400==pT解：分子的平动配分函数表示为 ()()()31 33 34 23 23 23 3 3 23 3 231 09632.2 1050
400314.82 106260755.6 40010380658.1 100221367.6 10142 π2 π2π2 ×= × ×× × ? ? ? ? ? ?
×××
配分函数。 × ×× × = ==? ? ?p nRT h mkT V h mkT qt1
6．能否断言：粒子按能级分布时，能级愈高，则分布数愈小。试计算300K 时HF分子按转动能级分布时各能级的有效状态数，以验证上述结论之正误 。已知HF的转动特征温度。K 3.30=rΘ解：能级的有效状态数定义为，对转动来说，有效状态数为[]kTgjjε?exp，其图像为()()[]TΘjjjjr1exp1+?+如图，该函数有极值。原因是转动 能级的简并度随能级的升高而增加， 而指数部分则随能级的升高而迅速降 低。
18．已知气体I2相 邻振动能级的能量 差，试求300J 1
0426.023?×=?εK时I2分子的、、及。vΘvq0vq0vf解：分子的振动特征温度为K 5.308,= ?
===?kk h
Θhvεν νε分
子的振动配分函数为9307.0 1 ee 13
0025.30830025.30822= ? = ?
=×?×?ee qTΘTΘ vvv
()()557.1
30025.308exp9307.02exp0=×==vrvqTΘq5
57.100==vvqf19．设有N个振动频率为ν的一维谐振子组成的系统，试证明其中能量不低于
的离子总数为，其中v为振动量子数。
()νε()kThNνv?exp解：根据Boltzmann分布024681012 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Quantum Number JEfficient Number of States()() ()()()() () () () ()k ThN kTh kTh q N kTh kThj q N
kThkTj q N n q kTN njjvj j jν ν ν ε νε v vvv?= ?? ? ?=