【分析】（1）利用△ACP∽△PDB的对应边成比例和等边三角形的性质可以找到AC、CD、DB的关系； （2）利用相似三角形的性质对应角相等和等边三角形的性质可以求出∠APB的度数． 【解答】解：（1）当CD=AC?DB时，△ACP∽△PDB， ∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD=∠PDC=60°， ∴∠ACP=∠PDB=120°，

若CD2=AC?DB，由PC=PD=CD可得：PC?PD=AC?DB， 即

=

，

2

则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB

（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD ∵∠PDB=120° ∴∠DPB+∠DBP=60° ∴∠APC+∠BPD=60°

∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120° 即可得∠APB的度数为120°．

【点评】此题是开放性试题，要熟练运用相似三角形的性质和等边三角形的性质．

22．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；

（2）根据利润=单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可； （3）利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可． 【解答】解：（1）设y=kx+b，根据题意得解得：k=﹣2，b=200， ∴y=﹣2x+200（30≤x≤60）；

（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2（x﹣65）2+2000；

，

（3）W=﹣2（x﹣65）2+2000， ∵30≤x≤60，

∴x=60时，w有最大值为1950元，

∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．

【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．

23．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连接BH． （1）求证：AC=CD； （2）若OB=2，求BH的长．

【考点】切线的性质．

【分析】（1）连接OC，只要证明OC∥BD即可． （2）在Rt△ABF中，根据BH=【解答】证明（1）连接OC．

计算即可．

∵C是中点，AB是○O的直径

∴OC⊥AB， ∵BD是○O切线， ∴BD⊥AB．

∴OC∥BD． ∵AO=BO， ∴AC=CD

（2）∵E是OB中点， ∴OE=BE

在△COE与△FBE中， ∠CEO=∠FEB OE=BE ∠COE=∠FBE △COE≌△FBE（ASA） ∴BF=CO ∵OB=2， ∴BF=2 ∴AF=∵AB是直径 ∴BH⊥AF ∴AB?BF=AF?BH ∴BH=

=

=

．

=

=2

，

【点评】本题考查圆的有关知识，切线的性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．

24．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．

【分析】（1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数； （2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积；

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．

【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1， ∴∠CC1B=∠C1CB=45°，

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．

（2）∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1， ∴

，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1， ∴△ABA1∽△CBC1． ∴

∵S△ABA1=4， ∴S△CBC1=

（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形， ∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=

，

；

，

当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=

﹣2；

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7．