华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总 下载本文

半径的球面,f(x,y,z)在R上连续,证明:

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df(x,y,z)dxdydz???f(x,y,z)dS ???drBr(M0)?Br(M0)

2005年华南师范大学数学分析

一、计算题(4*8=32分) 1.求limcos(sinx)?cosx.

x?0sin3x2.求?sec3xdx.

x2y23.求lim.

(x,y)?(0,0)x2?y24.求?

二、证明题(3*9=27分) 1.证明:对?a,b?R,ea?b2xdy?ydx222L:x?(y?1)?R,0?R?1,取逆时针方向。 .其中

L4x2?y2?1a(e?eb); 22.设liman?0,证明:limn??a1?a2???an?0;

n??n

3.设f(x)在(0,1)上连续,lim?f(x)?lim?f(x)???,证明:f(x)在(0,1)内取到

x?0x?1最大值.

三、讨论题(2*8=16分) 1.讨论级数1?

2.设??0,??0,讨论???01213?1312?1413?1512?1613???1(2n?1)12?1(2n)13??的敛散性。

sinx?dx的敛散性(包括条件收敛和绝对收敛)。 x?

2006年华南师范大学数学分析

1.(15分)假设limf(x3)存在,试证明:limf(x)?limf(x3).

x?0x?0x?0

2.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数,试证明:f(x)在[a,b]上可积。

3.(15分)假设un(x)(n?1,2,?)在[a,b]上连续,级数?un(x)在(a,b)上一致收

n?1?敛,试证明:

(i)?un(a),?un(b)收敛; (ii)?un(x)在[a,b]上一致收敛。

n?1n?1n?1???

?x2y (x2?y2?0)?224.(15分)假设f(x,y)??x?y,试证明:f(x,y)在(0,0)连续,且

?0 (x2?y2?0)?偏导数存在,但此点不可微。

5.(15分)计算曲面积分I???x2dydz?y2dzdx?z2dxdy,其中s为锥面

sx2?y2?z2(0?z?h)所示部分,方向为外侧。

2007年华南师范大学数学分析

?n?1.(15分)证明数列?n?收敛,并求其极限.

?2?

2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义,且f(x)=f(-x). (1).(5分)如果f(x)在U(0)可导,证明f?(0)?0;

(2).(10分)只假定f?(0)存在,证明f?(0)?0.

?3.(15分)求积分:?2sinnxdx,n?0,1,2,?.

0

4.(15分)判别函数列fn(x)?x,x?(??,??)的一致收敛性. 221?nx

?2z?z5.(15分)设x?y?z?1,求和2.

?x?x222

6.(15分)利用?

7.(20分)设L是平面区域?的边界曲线,L光滑。u(x,y)在?上二阶连续可微,

?u?2u?2u?u用格林公式证明:.其中n是L上的单位外法向量,(?)dxdy?ds2????n?n?y2??xL??0e?xdx?2?2和分部积分法求???01?ax2(1?e)dx,其中a>0. x2是u沿n方向的方向导数.

8.(20分)设f(x)的导函数f?(x)在[0,1]上连续,且f?(0)>0,证明瑕积分

?

10f(x)?f(0)dx,(p?1).当1