半径的球面，f(x,y,z)在R上连续，证明：
3
df(x,y,z)dxdydz???f(x,y,z)dS ???drBr(M0)?Br(M0)
2005年华南师范大学数学分析
一、计算题（4*8=32分） 1.求limcos(sinx)?cosx.
x?0sin3x2.求?sec3xdx.
x2y23.求lim.
(x,y)?(0,0)x2?y24.求?
二、证明题（3*9=27分） 1.证明：对?a,b?R,ea?b2xdy?ydx222L：x?(y?1)?R,0?R?1,取逆时针方向。 .其中
L4x2?y2?1a(e?eb)； 22.设liman?0，证明：limn??a1?a2???an?0；
n??n
3.设f(x)在(0,1)上连续，lim?f(x)?lim?f(x)???，证明:f(x)在(0,1)内取到
x?0x?1最大值.
三、讨论题（2*8=16分） 1.讨论级数1?
2.设??0,??0，讨论???01213?1312?1413?1512?1613???1(2n?1)12?1(2n)13??的敛散性。
sinx?dx的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。 x?
2006年华南师范大学数学分析
1.(15分)假设limf(x3)存在，试证明：limf(x)?limf(x3).
x?0x?0x?0
2.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。
3.(15分)假设un(x)(n?1,2,?)在[a,b]上连续，级数?un(x)在(a,b)上一致收
n?1?敛，试证明：
（i）?un(a),?un(b)收敛； (ii)?un(x)在[a,b]上一致收敛。
n?1n?1n?1???
?x2y (x2?y2?0)?224.(15分)假设f(x,y)??x?y,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且
?0 (x2?y2?0)?偏导数存在，但此点不可微。
5.(15分)计算曲面积分I???x2dydz?y2dzdx?z2dxdy，其中s为锥面
sx2?y2?z2(0?z?h)所示部分，方向为外侧。
2007年华南师范大学数学分析
?n?1.(15分)证明数列?n?收敛，并求其极限.
?2?
2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x). (1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明f?(0)?0；
(2).(10分)只假定f?(0)存在，证明f?(0)?0.
?3.(15分)求积分：?2sinnxdx,n?0,1,2,?.
0
4.(15分)判别函数列fn(x)?x,x?(??,??)的一致收敛性. 221?nx
?2z?z5.(15分)设x?y?z?1，求和2.
?x?x222
6.(15分)利用?
7.(20分)设L是平面区域?的边界曲线，L光滑。u(x,y)在?上二阶连续可微，
?u?2u?2u?u用格林公式证明：.其中n是L上的单位外法向量，(?)dxdy?ds2????n?n?y2??xL??0e?xdx?2?2和分部积分法求???01?ax2(1?e)dx，其中a>0. x2是u沿n方向的方向导数.
8.(20分)设f(x)的导函数f?(x)在[0,1]上连续，且f?(0)>0，证明瑕积分
?