2000年华南师范大学数学分析

一、填空题（3*10=30分） 1.设an?(?1)?sinnn?,n?1,2,?,则liman?_______,liman?_______；

n??n??4?x, x为有理数2.设f(x)?? x?R,则f(x)在x?____处连续；?x, x为无理数?nx3.limdx?_____;

n???01?x14.lim(sinx?cosx)?_________;

x?01x5.方程x?3x?c?0(c为实常数)在区间[0,1]中至多有_________个根； 6.设In?2dx?(x2?a2)n(n?1,n为自然数)，写出In?1的递推公式In?1?_________________;7.设u(x,y)??sinx?cosy0f(t)dt,f(t)是可微函数，则du?___________;

8.设f(x,y)在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是_____________;

9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：sinx?________________________; 10.曲线x?acost,y?asint,0?t?2?的弧长s=___________________.

二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，limf(x)存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最

x???332大值或最小值.

三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程x?y?z?yf()所确定，其中f是可微函数，试证：

222zy(x2?y2?z2)

?z?z?2xy?2xz. ?x?y四、（12分）求极限：lim(n??12n????).

n2?n?1n2?n?2n2?2n

（a?1）?(b?1)五、（12分）已知a,b为实数，且1

六、(12分)计算曲面积分：I?的外侧.

七、(10分)设un(x)?0,在[a,b]上连续，n=1,2,…,

?lnblna.

22223x?y?z?1其中S是球面xdydz?ydzdx?zdxdy.??S?un?1?n(x)在[a,b]上收敛于连续函数

f(x),证明：

?un?1n(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).

2003年华南师范大学数学分析

一、(12分)求极限lim(n??111????). 1?33?5(2n?1)(2n?1)二、(12分)设D??(x,y):?1?x?1,?1?y?1?,求积分

三、(12分)证明

??Dy?x2dxdy.

nx在[a,b]上一致收敛(其中，0

四、(12分)求第二型曲线积分向。

231322L:x?2y?1，取逆时针方?ydx?xdy，其中，?L33五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果lim?f(x)和limf(x)都存在(有限)，

x?ax???那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立如成立，请证明之；否则，请举反例。

六、(15分)设

???af(x,y)dx关于y?[c,d]一致收敛，而且，对于每个固定的y?[c,d]，

f(x,y)关于x在[a,+∞)上单调减少。求证：当x???时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于

y?[c,d]一致地收敛于0.

2004年华南师范大学数学分析

1.(12分)设an?(1?),n?1,2,?,证明数列?an?严格单调增加且收敛。

n1n

1?2?xsin, x?02.(12分)求函数f(x)??的导函数，并讨论导函数的连续性。 x? x?0?0,

[2?(?1)n]n13.(12分)求幂级数?(x?)n的收敛半径和收敛域。

n2n?1?

4.(12分)求函数f(x)?????x?0?1, 的Fourier级数，并由此求数列级数：

0?x???0, 1111?????(?1)n??的和。

352n?1

5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0

?，??(a,b)，使得?f?(?)?

f?(?)(b?a)。

lnb?lna6.(15分)Br(M0)是以M0?(x0,y0,z0)为心，r为半径的球，?Br(M0)是以M0为心，r为