解析：由三视图可知该几何体是由半个圆柱和一个倒立的直四棱锥14π×464组合而成的，如图，故该几何体的体积V＝×4×4×4＋＝＋
3238π，表面积为S＝π×2＋162＋12π.
64
答案：＋8π 16＋162＋12π
3
2
14．已知在一次考试中甲、乙、丙三人及格的概率均为，那么三人中至少有2人及格的概
3率为________，记考试及格的人数为X，则随机变量X的期望为________．
2?2?所以P＝1－?1?3－C1×2×?1?解析：因为甲、乙、丙三人及格的概率均为，所以X～B?3，?，?3?3??33?3??3???
2
2
2π×2×44×4×24×42×2
＋＋＝16＋222
16202
＝1－－＝，E(X)＝3×＝2.
2727273
20答案： 2
27
2x15．已知实数x>0，y>0，且满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．
xy2yx??＝，2x2x＋2yx2yx解析：因为x＋y＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋22，当且仅当?xyxyxyxy??x＋y＝1，即x＝2－2，y＝2－1时等号成立．
答案：2＋22
π??16．已知函数f(x)＝sin?2x＋?，对任意的x1，x2，x3，且0≤x1 3?? f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|≤m成立，则实数m的最小值为________． 解析：原不等式恒成立，只需要m大于或等于|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|的最大值即可，π??则只需|f(x1)－f(x2)|，|f(x2)－f(x3)|都取得最大值，结合f(x)＝sin?2x＋?，x∈[0，π]的 3?? - 5 - / 7 π7π 图象易知，当x1＝，x2＝，x3＝π时，|f(x1)－f(x2)|max＝|1－(－1)|＝2，|f(x2)－f(x3)|max 1212＝?－1－为3＋ ? ?333? ?＝1＋2，所以|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|的最大值为3＋2，即m的最小值2? 3. 2 3 2 答案：3＋ 1 17.已知扇环如图所示，∠AOB＝120°，OA＝2，OA′＝，P是扇 2―→―→―→ 环边界上一动点，且满足OP＝xOA＋yOB，则2x＋y的取值范围为________． 解析：以O为坐标原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系(图略)，易知A(2,0)，B(－1，3)， ?2π?设P(2cos α，2sin α)，α∈?0，?， 3?? 1―→―→―→―→ (1)当点P在AA′上运动时，向量OP与OA共线，显然y＝0，此时OP＝xOA＝(2x,0)， 21 ≤2x≤2，所以≤2x＋y≤2； 2 ―→―→―→―→ (2)当点P在BB′上运动时，向量OP与OB共线，显然x＝0，此时OP＝yOB＝(－y，3y)，111 －2cos 60°≤－y≤－cos 60°，即≤y≤1，所以≤2x＋y≤1； 244 ―→―→―→ AB上运动时，由OP＝xOA＋yOB，得(2cos (3)当点P在?α，2sin α)＝x(2,0)＋y(－1，3)，即2cos α＝2x－y， 2sin α＝3y，所以2x＋y＝ 4 221 sin α＋2cos α，变形可得2x＋y＝sin(α＋φ)， 33 其中tan φ＝实数，又 3―→―→―→ ，因为P是扇环边界上一动点，且满足OP＝xOA＋yOB，所以x，y均为非负2 33πππ?2π?<<1，所以可取<φ<，因为α∈?0，?，所以当α＋φ＝时，2x＋y取得 3?32642? 2212π 最大值，最大值为，当α＝时，2x＋y取得最小值，最小值为1； 33 A′′B上运动时， (4)当点P在?|OA′||OB′|1 因为＝＝， |OA||OB|4 - 6 - / 7 122121 故2x＋y的最大值为×＝， 436 11?1221? 最小值为×1＝.综上所述，2x＋y∈?，?. 443??4 ?1221? 答案：?，? 3??4 - 7 - / 7