第一章 事件与概率
1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则
(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}
A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}
(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则??{?1，?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}
(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}
1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。
(1) 叙述ABC的意义。
(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C?B是正确的？ (4) 什么时候A?B成立？
解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）。用Ai表示下列事件：
(1)没有一个零件是不合格品；
(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) ?Ai; (2) ?Ai??Ai; (3) ?[Ai(?Aj)];
i?1nnnnni?1i?1i?1j?1j?i(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为?AiAj；
i,j?1i?jn1.4 证明下列各式： (1)A?B?B?A; (2)A?B?B?A
(3)(A?B)?C?A?(B?C); (4)(A?B)?C?A?(B?C) (5)(A?B)?C?(A?C)?(B?C) (6) ?Ai??Ai
i?1i?1nn证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为A82?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以
11?A5?2?3?6个样本点。于是 事件A“所得分数为既约分数”包含A32?2A32?3?69?。 8?7141.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
P(A)??5?解 样本点总数为??3???10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必
??须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一
3个三角形”包含3个样本点，于是P(A)?。
101.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？
解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含
3!2!2!2!48? 13!13!1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。
解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9?10?1?89个不同位置，当
3!2!2!2!个样本点。所以P(A)?它处于和红“车”同行或同列的9?8?17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为
17P(A)?
891.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A97个样本点，于是
A97P(A)?7。
91.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？
94?9?解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)????，所以
10000?10?94?9?P(A)?1-P(A)?1??1???
10000?10?1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：
(1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1；
(3)该数的立方的最后两位数字都是1；
1解 (1) 答案为。
5(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答42案为?
105(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是
。
1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。
解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故
44对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为
(5?3?1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1种
连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为(5?3?1)(4?2)，于是
P(A)?(5?3?1)(4?2)8? 15(5?3?1)2(2) 2n根草的情形和(1)类似得
1.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球
?N?n?k?2????n?k?的概率为??，0?k?N?n?1?????n???n
?N??n?1????????(2)恰好有m个盒的概率为??m??N?m?1?，N?N?n?1?????n???n?m?N?1
(3)指定的m个盒中正好有j个球的概率为
?m?j?1??N?m?n?j?1????m?1?????n?j?????N?n?1?????n??，
1?m?N,0?j?N.
解 略。
1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。
3解 所求概率为P(A)?
5n?11.15 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于的概
n1率为2。
n1解 截取CD??CD，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面
nn?1积之比大于，因此所求概率为
n21?CD2?A?B?C有面积CD?1n?P(A)??。 ?22?ABC的面积CD2nCD2