2019-2020年中考数学专题知识突破七：归纳猜想型问题

一、中考专题诠释

归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲

归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲

考点一：猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2014?菏泽）下面是一个某种规律排列的数阵：

根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n－2个数是 （用含n的代数式表示）

思路分析：观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n－1行的数据的个数，再加上n－2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可． 考点二：猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例2 （2014?仙桃）将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2014个时，实线部分长为 ．

思路分析：根据图形得出实线部分长度的变化规律，进而求出答案． 考点三：猜想坐标变化规律 例3 （2014?莱芜）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3 ，…，则B2014 的坐标为 ．

思路分析：连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2014=335×6+4，因此点B4向右平移1340（即335×4）即可到达点可求出点

B2014，根据点B4 的坐标就

B20144

的坐标．

考点四：猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。 例4 （2014?临沂）【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

【探究展示】

（1）证明：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

思路分析：（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．

（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．

（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立．

考点五：猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

例5 （2014?聊城）如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点

A1，A2，A3，A4，?，An 分别过这些点做的图象相交于点P，P2，P，13作

x轴的垂线与反比例函数1y= xP，4?Pn ；

P2B1?A1P，P?，PnBn?1?An?1Pn?1 ；13B2?A2P2，P4B3?A3P3，B1，B2，B3，B，，B4?n? 1；

垂足分别为

连接PP，P2P，?，Pn?P123PP3，41n ； 得到一组则RtP，RtPPRt3PB?P，1B1P22B2，33，4 RtPn?P1n?B1n ，

RtPn?1Bn?1Pn 的面积为 ．

思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到

RtPB11P2 的面积=（1111 ×a×（），RtP的面积= ×a×?BP223a2a2211111的面积= ×a×（），由此得出?），RtP?3B3P42a3a3a4a2111Pn?1Bn?1Pn 的面积= ×a×[（?）]，化简即可． 2?n?1?ana 考点六：猜想数字求和 例6 (2014?滨州）计算下列各式的值： 92?19;992?199;9992?1999;99992?19999 ． 观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得 99?92?199?9= ． 2014个92014个9思路分析：先计算得到 92?19?10?101;992?199?100?102;99992?19999?1000?103;9992?1999?10000?104;计算的结果都是10的整数次幂，且这个指数的大小与被开方数中每个数中9的个数相同，即可得出规律． 四、中考真题演练 一、选择题

1．（2014?临沂）请你计算：（1－x）（1+x），（1－x）（1?猜想（1－x）（1?A． 1? x?x2 ），…，

x?x2???xn ）的结果是（ xn?1

C． 1? ）

xn?1

B．1?xn D．1?xn

2．（2014?烟台）将一组数进行排列：3,6,3,23,15,...,310 ，按下面的方式； 3,6,3,23,1532,21,26,33,30 ； … 若23 的位置记为（1，4），26 的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）

（5，2）A． （5，3）B． （6，2）C． （6，5）D．

S0，将其

3．（2014?济南）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列