因为B1C1?平面A1B1C1， 所以BB1⊥B1C1．
又因为B1C1⊥A1B1，A1B1∩BB1=B1， 所以B1C1⊥平面AA1B1B． 因为A1B?平面AA1B1B， 所以A1B⊥B1C1．
因为AA1=AB=2，所以四边形AA1B1B为菱形． 所以A1B⊥AB1． 因为B1C1∩AB1=B1， 所以A1B⊥平面AB1C1．
（Ⅱ） 由已知，BB1⊥平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1， 所以BB1⊥A1B1．
因为A1B1⊥B1C1，B1C1∩BB1=B1， 所以A1B1⊥平面BB1C1C．
又A1B1=AB=2，故A1到平面BB1C1C的距离为2． 因为E为A1C1中点，所以E点到平面BB1C1C距离为1．
所以
（Ⅲ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，
．
因为E，H为平面EAB与平面A1B1C1的公共点， 所以平面EAB∩平面A1B1C1=EH．
因为平面ABC∥平面A1B1C1，AB?平面ABC， 所以AB∥平面A1B1C1． 又平面A1B1C1∩平面EAB=EH， 所以EH∥AB．
又AB∥A1B1，所以EH∥A1B1．
因为E为A1C1中点，所以H为B1C1中点．
所以【点睛】
．
本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面平行以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.
19．已知函数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【答案】（Ⅰ）y=0（Ⅱ）单调递减区间为（-1，-（-，+∞）
时，求出函数
，利用导数的几何意义求出时，令
，讨论
，得
，
处的切线的斜率，
，分三种情
），单调递增区间为（-∞，-1）
【解析】（Ⅰ）当
利用点斜式求出切线方程；（II）当况①【详解】
（Ⅰ）f（x）的定义域为R，
当a=1时，f′（0）=0，f（0）=0，
，②当
，③当
的单调区间．
．
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=0． （Ⅱ）f′（x）=aex（x+1）-x-1=（x+1）（aex-1）． （1）当a≤0时，aex-1＜0，
所以当x＞-1时，f′（x）＜0；当x＜-1时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）． （2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-lna． ①当-lna=-1，即a=e时，f′（x）≥0，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间； ②当-lna＜-1，即a＞e时，
当-lna＜x＜-1时，f′（x）＜0；当x＜-lna或x＞-1时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调递减区间为（-lna，-1），单调递增区间为（-∞，-lna），（-1，+∞）； ③当-lna＞-1，即0＜a＜e时，
当-1＜x＜-lna时，f′（x）＜0；当x＜-1或x＞-lna时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调递减区间为（-1，-lna），单调递增区间为（-∞，-1），（-lna，∞）． 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程
20．已知椭圆C：的离心率为，其左焦点为F1（-1，0）．直线l：
y=k（x+2）（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B，直线BF1与椭圆C的另一个交点为E． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当时，求△F1AB的面积；
（Ⅲ）证明：直线AE与x轴垂直．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析
【解析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率以及已知条件求解，，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及弦长公式，得到直线距离然后求解
的
面积；（Ⅲ）当直线
的方程为
时，求出直线的斜率；设直线的斜率为，
，与椭圆联立，利用韦达定理，转化求解证明即可．
【详解】
解：（I）由已知有解得
所以椭圆C的方程为．
（II）由
消去y，整理得（1+2k2）x2+8k2x+（8k2-2）=0．
由已知，△=（8k2）2-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
．
直线l的方程为x-2y+2=0，F1（-1，0）到直线l的距离．
所以△F1AB的面积为．
（III）当x2=-1时，．
此时直线l的斜率为，由（II）知不符合题意，所以x2≠-1．
设直线BF1的斜率为
则直线BF1的方程为y=t（x+1）．
．
由
消去y，整理得（1+2t2）x2+4t2x+（2t2-2）=0．
设E（x3，y3），则有．
由得，代入上式整理得，
解得．
因为，
将，
代入，整理得x3-x1=0，
所以x3=x1．所以直线AE与x轴垂直． 【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，计算量较大，有一定难度.