D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．

解：（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20． ②显然∠MAD不能为直角．

当∠AMD为直角时，AM＝AD﹣DM＝30﹣10＝800， ∴AM＝20

或（﹣20

22

2

2

2

2

舍弃）．

2

2

2

2

当∠ADM＝90°时，AM＝AD+DM＝30+10＝1000， ∴AM＝10

或（﹣10

舍弃）．

或10

．

综上所述，满足条件的AM的值为20（2）如图2中，连接CD．

由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30， ∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30∵∠AD2C＝135°， ∴∠CD2D1＝90°， ∴CD1＝

＝30

， ，

∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，

∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2， ∴∠BAD1＝∠CAD2， ∵AB＝AC，AD2＝AD1， ∴△BAD2≌△CAD1（SAS）， ∴BD2＝CD1＝30

．

14．（2019?绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．

（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值． （2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．

（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．

解：（1）如图1中，

作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O． ∵四边形ABCD是正方形， ∴FH＝AB，MQ＝BC， ∵AB＝CB， ∴FH＝MQ， ∵EF⊥MN， ∴∠EON＝90°， ∵∠ECN＝90°，

∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180° ∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°， ∴△FHE≌△MQN（ASA）， ∴MN＝EF， ∴k＝MN：EF＝1． （2）∵a：b＝1：2， ∴b＝2a， 由题意：2a≤MN≤

a，a≤EF≤

a，

， ．

∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为

（3）连接FN，ME． ∵k＝3，MP＝EF＝3PE， ∴∴

＝＝

＝3，

＝2，∵∠FPN＝∠EPM，

∴△PNF∽△PME， ∴

＝

＝2，ME∥NF，

设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，

①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH⊥BD于H．

∵∠MPE＝∠FPH＝60°， ∴PH＝2m，FH＝2∴＝

＝

＝

m，DH＝10m， ．

m，

②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H．则PH＝m，HE＝

∴HC＝PH+PC＝13m， ∴tan∠HCE＝∵ME∥FC，

∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD， ∵∠B＝∠D， ∴△MEB∽△CFD， ∴

＝

＝2， ＝

＝

， 或

．

＝

＝

，

∴＝

综上所述，a：b的值为

15．（2019?金华）如图，在?OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D． （1）求

的度数．

（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．

解：（1）连接OB，

∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA∥BC，∴OB⊥OA， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠ABO＝45°， ∴

的度数为45°；

（2）连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，

∵OH⊥EC， ∴EF＝2HE＝2t，

∵四边形OABC是平行四边形，