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淮 海 工 学 院

2014 - 2015 学年第 一 学期概率论与数理统计B 试卷（闭卷）

5. 设X的方差为1，利用切比雪夫不等式估计PX?E?X??2? ------（ C ）.

??

（A） 1/2 (B) 3/4 (C) 1/4 (D) 1/5

6．设（X1,X2,?,Xn）为来自总体X~N(?,?2)的一个样本，其中?,?2未知，（A卷）答案

题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．设有50份考卷,分别予以编号1,2,?50,任取其中2份进行考试，则事件“抽到的两份都是前10号考卷”的概率为---------------------------------------------------- ( B ).

22 (A) 1C102C1025 (B)C2 (C) 2 (D) 50C502

502．设随机变量X的分布律为P{X?k}?k15,k?1,2,3,4,5,则P{12?X?52}的值是-------------------------------------------------------------------------------------- ( B ).

(A) 3/5 (B) 1/5 (C) 2/5 (D) 4/5

3.设随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，关于Y的边缘分布函数FY(y)为---------------------------------------------------------------------------------------------------（ D ）. (A)xlim???F(x,y) (B)ylim???F(x,y) (C)F(x,0) (D)F(??,y)

4．设X是一随机变量，则下列各式中错误的是------------------------------------（ C ）. (A) E(?5X)??5E(X) (B) D(5?X)?D(X) (C)E(5X?1)?5E(X) (D) D(5?X)?D(X)

则下面不是统计量的是----------------------------------------------------------------（ D ）

（A）X （B）X?1ni n?Xi

i?1（C）1nn?1?(X21ni?X) （D）?(Xi??)2 i?1ni?17．设总体X服从正态分布N??,?2?,XX的样本，?21,X2,?,Xn是来自的无偏

估计量是------------------------------------------------------------------------------------ ( B ).

(A) 1n21n2n??Xi?X? (B) i?1n?1??Xi?X? i?1(C) 1n?nX2(D) X2i

i?18．在假设检验中，H0表示原假设，H1为备择假设，则称为犯第二类错误是（ D ）. （A）H1不真，接受H1 （B）H1不真，接受H0 （C）H0不真，接受H1 （D）H0不真，接受H0

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1.设事件A,B分别表示甲、乙迟到，则甲乙至少有一人迟到可以表示为A?B，只有乙迟到可以表示为___AB__ .

2.设连续型随机变量X服从参数为??1的指数分布，则X的概率密度函数

f(x)????e?xx?0，P?X?1?? 0 .

??0x?03.随机变量X服从参数为2的泊松分布，则E(X)?___2___,E(X2)? 6 . 4. 设X?N??,12?，容量n?16，均值X?5.2，则未知参数?的置信度0.95的

置信区间的下限为4.71，上限为5.69(已知Z0.025?1.96,Z0.05?1.645).

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

1.已知P(A)?12，P(B|A)?235，P(A|B)?10，求P(AB)及P(A?B). 解：P(AB)?P(A)P(BA)?15 ----------------------------------------------------2

P(B)?P(AB)2P(AB)?3 ----------------------------------------------------2

∴P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?2930----------------------------------------3 ??0x??12.设X的分布函数F(x)???0.1?1?x?1?0.51?x?3

??1x?3求(1)X的分布列，（2）求Y?X2的分布.

解：X????113??0.10.40.5??---------------------------------------4

Y?X2???19??0.50.5??--------------------------------3

3．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

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f(x,y)???k(6?x?y),0?x?2,2?y?4?0,其他 （1）确定常数k． （2）求P{X?Y?4}. 解 （1）由

????42????f(x,y)dxdy?1，得1??2dy?0k(6?x?y)dx?8k，所以

k?18．---------------------------------3

（2）P{X?Y?4}???f(x,y)dxdy

G??4dy4?y12?08(6?x?y)dx??????2

?23???????24．设随机变量X和Y的相关系数为0.5，E(X)?E(Y)?0,

E(X2)?E(Y2)?2,求E(X?Y)2.

解：由已知条件E(X)?E(Y)?0,E(X2)?E(Y2)?2,

可得D(X)?E(X2)?(E(X))2?2,同理D(Y)?2.????????2 所以Cov(X,Y)??XYDX DY?0.5?2?1.??????2 因此Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?E(XY)?2????1

所以，E(X?Y)2?E(X2)?2E(XY)?E(Y2)?2?2?2?6??2

四、计算题（本题8分）

对敌人的阵地进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，标准差为1.5，试用中心极限定理计算在100次射击中，有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。附表：?(1.33)?0.9082。

解：以Xi记第i次射击命中目标的炮弹数，i?1,2,?,100，------------------1

100Xi?2?100由题设E(Xi)?2，D(Xi)?1.52?，则由中心极限定理知i?11.52近似服从100?N(0,1)------------------------------------------3

故所求概率为

?100?100P{180??X?P???180?2?100?Xi?2?100220?2?100?i?220}?i?1???1.5?100?i?121.52?1001.52?100---2 ??????2?(2015)?1?0.8186．--------------------------------2

五、计算题（本题8分）

已知男子有5%色盲，女子有0.25%色盲．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，求（1）抽到色盲的概率是多少？（2）如果抽到这个人恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少？

解：以B表示事件“选出的人患色盲”，以A1表示事件“选出的是男性”，则A2表示事件“选出的是女性”．

由题设，P(AP(A11)?2)?2，P(B|A1)?0.05，P(B|A2)?0.0025，-------------------------2

P(B)?P(A111)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?2?0.05?2?0.0025?0.02625

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-------------------------3

P(A(A1B)P(A1)P(B|A1)1|B)?PP(B)?P(A)?P(A 1)P(B|A12)P(B|A2)0.05?1?12?500525?2021?0.952．-------------------------3 0.05?2?0.0025?12六、计算题（本题8分）

设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数:

f(x)????x??1,0?x?1， ?0,其他 ??0, 求参数?的矩估计量和最大似然估计量。

解：（1）E?X???10x?x??1dx????1 -------------------------1

由X?E?X?????1知矩估计量为???X1?X --------------------2 ?（2）L??????n?n?x??1i,0?xi?1 --------------------2?i?1 ?0,其它nlnL????nln??(??1)?lnxi --------------------1

i?1dlnL???nnd?????lnxi?0 --------------------1

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最大似然估计量为 ????n?lnxi?1n --------------------1

i七、应用题（本题8分）

假定人的脉搏服从正态分布，正常人的脉搏平均为72次/分钟，现测得16例慢性铅中毒患者的脉搏，计算得知x?66.44,s?7.18。问在显著性水平0.05下，慢性铅中毒患者和正常人的脉搏有无显著差异？（t0.025(15)?2.1315，

t0.05(15)?1.7531）

解 设脉搏数X~N(?,?)，方差?未知，??0.05,n?16,?0?72， 检验假设 H0:??72,H1:??72， --------------------2 取检验统计量为T?22

X??0，

S/n则拒绝域为|t|?x??0s/n?t?/2(n?1)?t0.025(15)?2.1315，--------------------2

算得x?66.44,s?7.18，代入上式，

计算得|t|?66.44?72?3.098?2.1315，--------------------2

7.18/16所以拒绝H0，即认为慢性铅中毒患者和正常人的脉搏有显著差异。--------------------2