【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、
解三角形 4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 文
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 2π频率 1ωf＝＝ T2π相位 初相 A T＝ω ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：
x 0－φω0 π－φ2π－φωπ 2 ωπ 3π－φ2ω3π 2－A 2π－φ ωωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 2π 0 A 0 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤如下：
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )
π?π??π?(2)y＝sin?x－?的图象是由y＝sin?x＋?的图象向右平移个单位得到的．( √ )
4?4?2??
(3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )
(4)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( × ) (5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( √ ) 2
T
π??1．y＝2sin?2x－?的振幅、频率和初相分别为 ． 4??1π
答案 2，，－
π4
π??2．(2015·山东改编)要得到函数y＝sin?4x－?的图象，需将函数y＝sin 4x的图象进行
3??的变换为 ． π
①向左平移个单位；
12π
③向左平移个单位；
3答案 ②
π????π??解析 ∵y＝sin?4x－?＝sin?4?x－??， 3????12??
π?π?∴要得到函数y＝sin?4x－?的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．
3?12?π??3．(2015·湖南改编)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ?0＜φ＜?个单位后得到函
2??π
数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝ .
3答案
π 6
π
②向右平移个单位；
12π
④向右平移个单位．
3
解析 因为g(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)， 所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin 2x1－sin(2x2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1，
所以sin 2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2ππ
－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－，k2∈Z,2x1－2x2＋2φ＝2(k1
22－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，
得|x1－x2|＝?
?k1－k2π＋π－φ?.
?2??
πππ
因为0<φ<，所以0<－φ<，
222
ππ
故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝－φ＝，
23π
则φ＝.
6
4．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为 ．
答案 y＝10sin?
?πx＋3π?＋20，x∈[6,14]
4??8?
解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数
y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
1
所以A＝×(30－10)＝10，
2
b＝×(30＋10)＝20，
12π
又×＝14－6， 2ωπ
所以ω＝.
8π
又×10＋φ＝2π， 83π
解得φ＝，
4
12
?π3π?所以y＝10sin?x＋?＋20，x∈[6,14]．
4??8
π
5．(2014·安徽)若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y4轴对称，则φ的最小正值是 ． 答案
3π 8
ππ
解析 ∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]44
π
＝sin(2x＋－2φ)，
4
ππ
又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)．
42∴φ＝－
kππ
2－8
(k∈Z)．
3π
当k＝－1时，φ取得最小正值.
8
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 π??例1 已知函数y＝2sin?2x＋?. 3??(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
π??(3)说明y＝2sin?2x＋?的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
3??π??解 (1)y＝2sin?2x＋?的振幅A＝2， 3??2ππ
周期T＝＝π，初相φ＝.
23
π?π?2x＋(2)令X＝2x＋，则y＝2sin??＝2sin X.
3?3?列表如下：
x X y＝sin X y＝2sin?2x＋? 3－π 6π 12π 21 2 π 3π 0 0 7π 123π 2－1 －2 5π 62π 0 0 0 0 ??π??0 描点画出图象，如图所示：