【变式】设数列{an}是等差数列，a5?6．

（Ⅰ）当a3?3时，请在数列{an}中找一项am，使得a3,a5,am成等比数列； （Ⅱ）当a3?2时，若k1,k2,?,kn(n?N*)满足5?k1?k2???kn??， 使得a3,a5,ak1,ak2,?,akn,?是等比数列，求数列{kn}的通项公式．

3 22∵a3,a5,am成等比数列，∴ama3?a5 解得m?9．故a3,a5,a9成等比数列．

解析（Ⅰ）设{an}公差为d，则由a5?a3?2d，得d?（Ⅱ）?a3?2,a5?6，∴d?2，故an?a3?(n?3)d?2n?4． 又a3,a5,ak1,ak2,?,akn,?是等比数列， 则q?a56n?1?2?3n?1，n?1,2,3,? ??3，∴akn?a3qa32又akn?2kn?4，∴2kn?4?2?3n?1，∴kn?3n?1?2 【点睛】等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容．

★★★自我提升

1．在等差数列{an}中，a6?a3?a8，则S9?（ A ）

（A）0 （B）1 （C）?1 （D）-1或1 2．（理）已知数列{an}满足Sn?（A）

1an?1,那么lim(a2?a4???a2n)的值为（ C ）

n??32 （C）1 （D）－2 3（文）直角三角形三边成等比数列，公比为q，则q2的值为（ D ）

（B）

（A）2 （B）

1 25?15?15?1 （C） （D） 2223．设{a n}为等差数列，a 1>0 ，a 6+ a 7>0， a6 a 7<0，则使其前n项和Sn>0成立的最大自然数n

是（ B ）

（A）11 （B）12 （C）13 （D）14

4．三个数a,b,c成等比数列，且a?b?c?m(m?0)，则b的取值范围是（ D ）

mmmm] （B）[?m,?] （C）(0,) （D）[?m,0)?(0,]

3333n?15．令a 则数列{a (n?N?)的展开式中含xn项的系数，n为f(x)?(1?x)n}的前n项和为__________．n（A）[0,6．这是一个计算机程序的操作说明： （1）初始值为x=1，y=1，z=0，n=0；

（2）n＝n+1（将当前n+1的值赋予新的n） （3）x = x+2（将当前的x=2的值赋予新的x） （4）y =2 y （将当前2y的值赋予新的y）

（5）z = z + x y（将当前z+xy的值赋予新的z）

（6）如果z>7000，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行； （7）打印n，z； （8）程序终止．

由语句（7）打印出的数值为 n=8，z=7682 ．

7．已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上．

（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；

'（Ⅱ） 设bn?m3?，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?对所有n?N都成立的最小正

20anan?1整数m；

2解析 （Ⅰ）设二次函数f (x)＝ax+bx (a≠0)，则f?(x)=2ax+b，又f?(x)=6x－2，得a=3 ， b=

2－2， 所以 f(x)＝3x－2x． 又因为点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n－2n． 2当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－2n）－（3n?1)2?2(n?1)＝6n－5． 2??当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N）

2

?11133?)， ＝＝(anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1n1?111111?1故Tn＝?bi＝?(1?)?(?)?...?(）． ?)?＝（1－

226n?177136n?56n?1??i?111m1m因此，要使（1－）<（n?N?）恒成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所

26n?120220（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?以满足要求的最小正整数m为10．

【文】设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn..

(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；

(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.

解析：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20. 因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…

?S14?77,?2a1?13d?11,?2a1?13d?11,???（Ⅱ）由?a11?0,得?a1?10d?0,即??2a1?20d?0,

?a?6?a?6??2a??121?1?1?由①+②得－7d＜11。即d＞－于是－

111. 由①+③得13d≤－1，即d≤－. 713111＜d≤－， 又d∈Z,故d=－1，将④代入①②得10＜a1≤12. 713又a1∈Z, 故a1=11或a1=12.

所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…

8．（理）数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?2an?3n(n?N?). （1）求数列{an}的通项公式an；

（2）数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不

存在，请说明理由．

解析：（1）当n?N?时有：Sn?2an?3n,?Sn?1?2an?1?3(n?1), 两式相减得：an?1?2an?1?2an?3?an?1?3?2(an?3)?an?1?2an?3

又a1?S1?2a1?3,?a1?3,a1?3?6?0

∴数列{an?3}是首项6，公比为2的等比数列． 从而an?3?6?2n?1,?an?3?2n?3.

（2）假设数列{an}中存在三项ar,as,at,(r?s?t)，它们可以构成等差数列，

ar?as?at, 因此只能是ar?at?2as，

?(3?2r?3)?(3?2t?3)?2(3?2s?3)即2r?2t?2s?1 ?1?2t?r?2s?1?r.(*)?r?s?t,r、s、t均为正整数，

∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立。

因此数列{an}中不存在可以构成等差数列的三项。 【文】在等差数列?an?中，a1?1，前n项和Sn满足（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）记bn?anpn(p?0)，求数列?bn?的前n项和Tn．

aS2n4n?2?,n?1,2,Snn?1，

S2n4n?2a1?a2得??3，

a1Snn?1所以a2?2，即d?a2?a1?1，所以an?n．

解析（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，由

（Ⅱ）由bn?anpn，得bn?npn．故Tn?p?2p2?3p3?a?(n?1)pn?1?npn，

n?1； 2当p?1时，pTn?p2?2p3?3p4?当p?1时，Tn??(n?1)pn?npn?1，

n?1(1?P)Tn?p?p?p??n?1,p?1?2?即Tn??． np(1?p)??npn?1,p?1??1?p23?p?p?npnn?1p(1?pn)??npn?1

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