高考数学专题复习4等差数列与等比数列

★★★高考在考什么 【考题回放】

1．设数列｛an｝的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2（n∈N），则a1＋a2＋…… ＋a17＝ 153 .

S31S6

2．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝( A )

S63S12

3111（A） （B） （C） （D）

10389

3．已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1

?b1?5，a1,b1?N*．设cn?abn（n?N*），则数列{cn}的前10项和等于（ C ）

（A）55 （B）70 （C）85 （D）100

4．在等比数列?an?中，a1?2，前n项和为Sn，若数列?an?1 ?也是等比数列，则Sn等于（ C ）(A)2?2 (B) 3n (C) 2n (D)3?1

5. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中：①S1与S2； ②a2与S3； ③a1与an； ④q与an．

其中一定能成为该数列“基本量”的是第 ①④ 组．(写出所有符合要求的组号)

n?1n?1a(n为偶数)?11?2n*6．设数列{an}的首项a1?a?，且an?1??，记bn?a2n?1?,n?N．

44?a?1(n为奇数)n??4（I）求a2，a3；

（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （III）（理）求lim(b1?b2?b3??bn)．

n??【专家解答】

11111（I）a2＝a1+= a+，a3=a2 =a+；

44228113113（II）∵ a4 = a3+=a+， ∴ a5=a4=a+，

428241611111111所以b1=a1－=a－， b2=a3－= (a－)， b3=a5－= (a－)，

444244441猜想：{bn}是公比为的等比数列．证明如下：

2111111 因为bn+1＝a2n+1－=a2n－= (a2n－1－)=bn， (n∈N*)

42424211 所以{bn}是首项为a－， 公比为的等比数列·

42（III）（理）lim(b1?b2?n???bn)?limn??b1(1?1)n2?b1?2(a?1)． 1141?1?22★★★高考要考什么 【考点透视】

本专题主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．

【热点透析】

高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查a1、d(q)、

n、an、Sn间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等

式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．

★★★突破重难点

【范例1】已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk = 2550．

(Ⅰ) 求a及k的值； (Ⅱ) 求lim(

n??111)． ??…

S1S2Sn解析（Ⅰ）设该等差数列为｛an｝，则a1 = a，a2 = 4，a3 = 3a，Sk = 2550．

由已知得a＋3a = 2×4， 解得a1 = a = 2，公差d = a2－a1= 2． 由Sk?k?a1?k?k?1?k?k?1??d得 k?2??2?2550，解得 k = 50． 22 ∴ a = 2，k = 50． （Ⅱ）由Sn?n?a1?n?n?1??d得Sn= n (n＋1)，

2111111∴ ?????????????S1S2Sn1?22?3n?n?1?1111111)?1? ?(?)?(?)?????(?，

1223nn?1n?11111∴ lim(??????)?lim(1?)?1．

n??Sn??S2Snn?11【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法．

【文】设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知S3与S4的等比中项为S5，S3与S4的等差中项为1，求数列?an?的通项．

211?12?3ad?5d?01S3?S4?(S5)??345解析 由已知得?， 即? ， 5??2a1?d?2?1S?1S?2?23?44?3131415131412??d?0?d??3212?n 解得?或?5 ?an?1 或 an?a?155?1?a?4?13212?n均满足题意，即为所求． 经验证 an?1 或 an?55S【点睛】若Sn是等差数列?an?的前n项和，则数列{n}也是等差数列．本题是以此背景设计此题．

n【范例2】已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an+5an+6且a1, a3, a15成等比数列，求数列{an}的通项an .

22

解析 ∵10Sn=an+5an+6， ① ∴10a1=a1+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．

2

又10Sn－1=an－1+5an－1+6(n≥2)， ②

22

由①－②得 10an=(an－an－1)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0

∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．

当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;

2

当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a3=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．

【点睛】求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注

2

意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。

【文】已知等比数列{an}的前n项和为Sn?a?2n?b，且a1?3． （1）求a、b的值及数列{an}的通项公式； （2）设bn?n，求数列{bn}的前n项和Tn． an解析 （1）当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1?a．

而{an}为等比数列，得a1?21?1?a?a＝3，即a?3，从而an?3?2n?1． 又?a1?2a?b?3,?b??3． （2）bn?123nnnT?(1?????) ， ?n2n?1n?13222an3?211123n?1nTn?(?2?3???n?1?n 232222211111n两式相减得Tn?(1??2???n?1?n)，

23222241n因此，Tn?(1?n?n?1)．

3221 411， 24333，， 4816【范例3】下表给出一个“三角形数阵”：

… … … …

已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行

*

第j列的数为aij ( i≥j， i， j∈N)．

(1) 求a83；

(2) 试写出a ij关于i， j的表达式；

(3) 记第n行的和为An，求An?an1?an2????ann.

111,a21?，所以公差d?,a81?2。

442331又a3n成等比数列，且a31?,a32?．又公比都相等，∴每行的公比是q?．

48211∴a83?2?()2?．

2211i1i11（2）由（1）知，ai1??(i?1)??，∴aij?ai1?()j?1??()j?1?i()j?1．

4442422111n1n1（3）An?an1[1??()2???()n?1]?[2?()n?1]??n()n?1．

2224222解析 （1）由题知an1成等差数列，且a11?????【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识．

【文】在等比数列{a n}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am， am+2， am+1成等差数列 （1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明 解析（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am， am+2， am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列

（２）设{an}的首项为a1，公比为q. 由已知得2am+2= am + am+1

∴2a1q=a1qm?1+a1q

m+1

m

∵a1≠0 q≠0 ，∴2q－q－1=0 ， ∴q=1或q=－2

1 2当q=1时，∵Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1， ∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2， ∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列 1m?2m?22a[1?(?)]1?141???2当q=－时， 2Sm?2??a1?1?????，

123????2??1?211m?2a1[1?(?)m]a1[1?(?)m?1]??41??22Sm?Sm?1???a1?1?????

113???2???1?1?22∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ， ∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列 综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真 【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处． 【范例4】已知数列{an}中,a1?1,且点P(an,an?1)(n?N)在直线x-y+1=0上．

（1） 求数列{an}的通项公式； （2）若函数f(n)?1111?????(n?N,且n?2), n?a1n?a2n?a3n?an求函数f (n)的最小值；

1,Sn表示数列{bn}的前n项和． 试问:是否存在关于n 的整式g(n)， 使得anS1?S2?S3???Sn?1?(Sn?1)?g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在，写出g(n)的解析

(3)设bn?式，并加以证明;若不存在，说明理由． 解析 （1）P(an,an?1)(n?N)在直线x-y+1=0上 ?an?an?1?1?0

?a1?a2?1?0,a2?a3?1?0,

,an?1?an?1?0,以上各式相加,得a1?an?n?1?0,an?a1?n?1?n.111????（2） ?f(n)?， n?1n?22n11111f(n?1)??????? ，

n?2n?32n2n?12n?2111111?f(n?1)?f(n)???????0．

2n?12n?2n?12n?22n?2n?17故f(n)的最小值是f(2)?. ?f(n)是单调递增的,12111（3）?bn??sn?1????，

n2n1即nsn?(n?1)sn?1?sn?1?1, ?sn?sn?1?(n?2),n ?(n?1)sn?1?(n?2)sn?2?sn?2?1．

…………………………………… 2s2?s1?s1?1,?nsn?s1?s1?s2???sn?1?n?1,

?s1?s2???sn?1?nsn?n?(sn?1)?n(n?2),?g(n)?n.

故存在关于n的整式g(n)?n,使等式对于一切不小2的自然数n恒成立．

【点睛】点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程，即得递推式．第（3）小题的探索性设问也是本题的升华．