1??21??2
m2077??207??7252m0e21??故
3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为
m?m0?207m0em0，运动质量为m，
m?m0?0.10m0由题设
m?m01??2
21由此二式得 1??∴ 在运动方向上的长度和静长分别为l和
?1?0.10
1??2?11.10
l0，则相对收缩量为：
?ll0?l0?l1?1?1??2?1??0.091?9.1%l01.10
3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?
-31
此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10kg．
?m?E0.4??2m100 mc00解: 由质能关系
0.4m0c2?E??0.4?9.1?10?31?(3?108)2/100100∴
?3.28?10?16所需电势差为2.0?10伏特
由质速公式有：
33.28?10?16?eVJ＝1.6?10?19?2.0?103eV
1??2?m0m0??mm0??mvc111???m0.41.0041?1?m0100
∴
?2?()2?1?(12)?7.95?10?3
1.0047-1v??c?2.7?10m?s故电子速度为
3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能EK＝2.8×10eV．这种电子速率比光速差多
9
少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为
E0＝0.511×106eV)
Ek?解:
m0c2v21?2c?m0c2
m0c2v211?2??22c1?E/mcE?mck0k0所以
由上式，
m0c22v?c1?()m0c2?Ek?c1?(0.51?106)2/(0.511?106?2.8?109)2 ?2.9979245?108m?s-1
c?v?2.997924580?108m?s-1?2.9979245?108?8 m?s-1
22224E?pc?mc可得 0由动量能量关系p?24E2?m0cc?24(Ek?m0c2)2?m0cc?Ek2?2Ekm0c2c1?382
?[(2.82?1018?2?2.8?109?0.511?106)?1.62?10?1.49?10?18kg?m?s?13-22
2氢原子的同位素氘(1120一个中子(n)，并释放出大量能量，其反应方程为1]/3?108
He)原子核和
34H)和氚(1H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(23H + 1H
4→2-27
已知氘核的静
止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600×10kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量． 解: 反应前总质量为2.0135?3.0155?5.0290反应后总质量为4.0015?1.0087?5.010210He + n
amu
amu
质量亏损 ?m?5.0290?5.0102?0.0188amu
?3.12?10?29kg
2?298由质能关系得?E??mc?3.12?10??3?10?
2?2.81?10?21J?1.75?107eV m3-23 一静止质量为0的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c．求裂变过程的
静质量亏损和释放出的动能．
解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损．
设裂变产生两个粒子的静质量分别为10和20，其相应的速度v1?0.6c,v2?0.8c 由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有
mm??m1v1?m2v2?m10v121?2cm101?vc212?v1?m202v21?2c?v2?0
m1?m2??m201?vc222?m0
注意m1和m2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以
v1?0.6c,v2?0.8c代入，将上二方程化为：
m10m2068??m0m10?m2086，0.80.6
上二式联立求解可得：
m10?0.459m0, m20?0.257m0
故静质量亏损
?m?m0?(m10?m20)?0.284m0由静质量亏损引起静能减少，即转化为动
22?E??mc?0.284mck0能，故放出的动能为
3-24 有A，B两个静止质量都是0的粒子，分别以v1=v,v2=-v的速度相向运动，在发
生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．
解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别m1和m2，碰撞后粒子的质量为M、速度为V，于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：
mm1v1?m2v2?MV ① m1?m2?M ②
v?v1?()21?()2cc由于
代入①式得 V?0
2m0M?m1?m2v1?()2c，即为碰撞后静止质量．
3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．
m1v1?m2v2?m0v?m0(?v)?0
2GMc2 解: 史瓦西半径
24M?6?10kg 地球：
rs?2?6.7?10?11?6?1024?3rs??8.9?10m82(3?10)则：
30太阳： M?2?10kg
2?6.7?10?11?2?10303rs??3?10(3?108)2则： m
3-26 典型中子星的质量与太阳质量M⊙＝2×10kg同数量级，半径约为10km．若进一步
30
坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10cm)，质量是什么数量级?
3r?3?10sm 解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，
?15r?10cm ?10?17m s(2)
-15
2GMc2 由
rsc210?17?(3?108)2M???6.7?109?11kg 2G2?6.7?10得
rs?3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．
解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．
等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验 都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．
广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．
习题八
8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示
(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷
1q212cos30??4π?0a24π?0q???3q3
qq?(32a)3
解得
(2)与三角形边长无关．
题8-1图 题
8-2图
8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2?,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．
解: 如题8-2图示
解得
Tcos??mg??q2?Tsin??F?1e?4π?0(2lsin?)2?
q?2lsin?4??0mgtan?E?
q4??0r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强
8-3 根据点电荷场强公式
→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求
场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
解:
?E?q4π?0r2?r08-4 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则