an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2
atan45????1οan(2)当加速度方向与半径成45角时，有
2R??R?即
22(9t)?18t 亦即
22??2?3t3?2?3??2.67rad99则解得 于是角位移为
1v0t?bt221-8 质点沿半径为R的圆周按s＝的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧
t3?v0，b都是常量，
求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．
dsv??v0?btdt解：（1） dva????bdtv2(v0?bt)2an??RR
长,
(v0?bt)4a?a??a?b?R2则
22n2加速度与半径的夹角为
??arctan(2)由题意应有
a??Rb?an(v0?bt)2
2(v0?bt)4a?b?b?R2 4(v?bt)b2?b2?02,?(v0?bt)4?0R即
vt?0b时，a?b ∴当
1-9 半径为R的轮子，以匀速
v0沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B的运动方程为
x＝R(?t?sin?t)，y＝R(1?cos?t)，式中??v0/R是轮子滚动的角速度，当B与
水平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)
求B点速度和加速度的分量表示式．
解：依题意作出下图，由图可知
题1-9图
x?v0t?2Rsin?v0t?Rsin??2cos?2(1)
?R(?t?Rsin?t)y?2Rsinsin22?R(1?cos?)?R(1?cos?t)
(2)
??dx?R?(1?cos?t)dtdy??Rsin?t)dt
dv?R?2sin?t?xdtdvy?R?2cos?t?dt ?1v1-10 以初速度0＝20m?s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角， ?v??x??vy???ax????ay???求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题1-10图
(1)在最高点，
v1?vx?v0cos60o an1?g?10m?s?2
又∵
an1?v21?1
v12(20?cos60?)2?1??an110∴
(2)在落地点，
?10m
v2?v0?20m?s?1,
而
an2?g?cos60o
2v2(20)2?2???80man210?cos60?∴
1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β=0.2 rad·s，求t＝2s时边缘
上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
?1解：当t?2s时，???t?0.2?2?0.4rad?s
?2?1则v?R??0.4?0.4?0.16m?s
an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2 a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2
2a?an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2
1-12 如题1-12图，物体A以相对B的速度v＝2gy沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时
A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度．
?解：当滑至斜面底时，y?h，则vA?因此，A对地的速度为
???'vA地?u?vA2gh,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响，
???(u?2ghcos?)i?(2ghsin?)j
题1-12图
1-13 一船以速率v1＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2＝40km·h 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
-1
-1
???v?v2?v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a) 解：(1)大船看小艇，则有21
题1-13图
由图可知
2v21?v12?v2?50km?h?1
??arctan方向北偏西
???v?v1?v2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得 (2)小船看大船，则有12v12?50km?h?1
方向南偏东36.87
1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但
-1
当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m·s，求轮船的速率．
解： 依题意作出矢量图如题1-14所示．
ov13?arctan?36.87?v24
题1-14图
???v?v?v雨船 ∵ 雨船???v?v?v雨雨船船 ∴
由图中比例关系可知
v船?v雨?8m?s?1
习题二
2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为m1的物体，另一边穿在质量为m2的圆
柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a?下滑，求m1，m2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．
解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为a1，其对于m2则为牵连加速度，又知m2对绳子的相对加速度为a?，故m2对地加速度，由图(b)可知，为
a2?a1?a? ①
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有
m1g?T?m1a1 ②
T?m2g?m2a2 ③ 联立①、②、③式，得
(m1?m2)g?m2a?m1?m2(m?m2)g?m1a?a2?1m1?m2m1m2(2g?a?)f?T?m1?m2 a1?讨论 (1)若a??0，则a1?a2表示柱体与绳之间无相对滑动．
(2)若a??2g，则T?f?0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时m1, m2均作自由落体运动．
题2-1图
2-2 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
v0运动，v0的方向
v解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取0方向为X轴，平行斜
面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.
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