16．已知，如图在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与抛物线y＝﹣x2﹣x交于点A，抛AB的长为半径的圆与y轴的正半轴交于点C，物线与x轴的一个交点为B，以A为圆心，过点B作BD⊥x轴交圆于点D，连接CD交直线y＝﹣x于点E． （1）请直接写出点A、B、C、D的坐标；

（2）在抛物线上是否存在一点P，使得△AEP的面积等于△ACE的面积；若存在求出点P坐标；

（3）若点M是直线y＝﹣x上一个动点，点N抛物线上一个动点，若以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求此时抛物线上点N的坐标．

参考答案

1．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，

故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；

（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；

（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4， 将点A坐标代入上式并解得：k＝1， 故直线CA的表达式为：y＝x﹣4， 过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°， 设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4）， PD＝HPsin∠PFD＝∵

（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣

x2+2

x， ，

＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2

此时点P（2，﹣6）．

2．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1， 故函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C′（2，﹣3），连接AC′交DE于点N，

则此时△CAN的周长最小，

将点A、C′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：故直线AC′的表达式为：y＝﹣x﹣1， 当x＝1时，y＝﹣2， 故点N（1，﹣2）；

②如图2，过点C作CG⊥ED于点G，

，解得：，

设NG＝n，则NE＝3﹣n，

∵∠CNG+∠GCN＝90°，∠CNG+∠MNE＝90°， ∴∠NCG＝∠MNE， 则tan∠NCG＝n＝tan∠MNE＝故ME＝﹣n2+3n，

∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n＝时，ME＝， 则m的最小值为：﹣；

如下图所示，当点N与点D处时，m取得最大值，

，

同理可得：m＝5； 故：﹣≤m≤5．

3．解：（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2． ∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）． ∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，

∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根． 由韦达定理， 1+3＝﹣b，1×3＝c， ∴b＝﹣4，c＝3，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；

（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴D（2，﹣1），

∴AD2+BD2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4， ∵AB2＝22＝4， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ADB是直角三角形，