DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【来源：21cnj*y.co*m】

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质．

【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；

（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，

【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ，

∵E是BC的中点， ∴BE=CE，

在△BPE和△CQE中， ∵

，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）解：连接PQ，

∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， =∠EQC+45°∴∠BEP+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ， ∴

=

，

∵BP=2，CQ=9，BE=CE， ∴BE2=18， ∴BE=CE=3∴BC=6

．

，

26．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC． （1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；

（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）解方程即可得到结论；

（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；

ax2﹣2ax﹣3a）ax+a）（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，，得到F（x，，求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；

（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．www.21-cn-jy.com

【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0， 解得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）， 对称轴为直线x=

=1；

（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0）， ∴0=﹣k+b， 即k=b，

∴直线l：y=kx+k，

∵抛物线与直线l交于点A，D， ∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k， 即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0， ∵CD=4AC，

∴点D的横坐标为4， ∴﹣3﹣=﹣1×4， ∴k=a，

∴直线l的函数表达式为y=ax+a；

（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a）， 则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，

∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣∴△ACE的面积的最大值=﹣

a，21教育网 a，

∵△ACE的面积的最大值为， ∴﹣

a=，

解得a=﹣；

（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形， 令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0， 解得：x1=1，x2=4， ∴D（4，5a），

∵抛物线的对称轴为直线x=1， 设P（1，m），

①若AD是矩形ADPQ的一条边， 则易得Q（﹣4，21a），

m=21a+5a=26a，则P（1，26a）， ∵四边形ADPQ是矩形， ∴∠ADP=90°， ∴AD2+PD2=AP2，

∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2， 即a2=， ∵a＜0，