课时作业(三十二)
(第二次作业)
1．下列函数中，最小值为4的是( ) 4
A．f(x)＝x＋x C．f(x)＝3x＋4×3－x 答案 C
2．在算式“30－△＝4×□”中的△，□分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(□，△)应为( )
A．(4,14) C．(3,18) 答案 D
3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a A．a 2ab2ab 解析 v＝11＝<＝ab.因为－a＝ 2aba＋ba＋b＋abab－a2a2－a22ab ＝>＝0，所以>a，即v>a.故选A项． a＋ba＋ba＋b 14 4．已知两个正变量x，y，满足x＋y＝4，则使不等式x＋y≥m恒成立的实数m的取值范围是________． 2 2ab 2ab－a2－ab a＋b B．v＝ab a＋b D．v＝2 B．(6,6) D．(5,10) x2＋5 B．f(x)＝2×2 x＋4D．f(x)＝lgx＋logx10 9 答案 (－∞，4] 5．设正数x，y满足x＋y≤a·x＋y恒成立，则a的最小值是________． 答案 2 6．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________． 答案 [6，＋∞) x＋y2 答案 原式等价于x＋y＋3＝xy≤(2)(当且仅当x＝y时取等?x＋y?2 号)，所以x＋y＋3≤4， 即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0. 解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)． 所以x＋y的取值范围是[6，＋∞)． b2 7．已知a>0，b>0，且a＋2＝1，则a1＋b2的最大值为________． 2 答案 32 4 1＋b2＝2×a1＋b212 2≤2×2[a＋(1＋b222)] 解析 a 213232 ＝2(1＋2)＝4，当且仅当a＝2，b＝2时等号成立． ∴a 32 1＋b的最大值为4. 2 82 8．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求x＋y的最小值． 解析 ∵x>0，y>0，且x＋y＝1， 8282 ∴x＋y＝(x＋y)(x＋y) 8y2x ＝10＋x＋y≥10＋2 8y2x x·y＝18. 8y2x 当且仅当x＝y，即x＝2y时等号成立， 2182 ∴当x＝3时，y＝3时，x＋y有最小值18. 12 9．设x，y都是正数且x＋y＝3，求2x＋y的最小值； 3?2x＋y?112 解析 (1)2x＋y＝＝3(x＋y)(2x＋y) 31y4x18＝3(x＋y＋4)≥3(24＋4)＝3. y4x 当且仅当x＝y时等号成立，即y2＝4x2.∴y＝2x. 1224又∵x＋y＝3，得x＝3，y＝3. 248 ∴当x＝3，y＝3时，2x＋y取得最小值为3. 10．设x>－1，求y＝ ?x＋5??x＋2? 的最小值． x＋1 解析 ∵x>－1，∴x＋1>0. 设x＋1＝t>0，则x＝t－1. ?t＋4??t＋1?t2＋5t＋4 于是有y＝＝ tt4 ＝t＋t＋5≥2 4t·t＋5＝9， 4 当且仅当t＝t，即t＝2时取等号，此时x＝1. ?x＋5??x＋2? ∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9. x＋1x4＋3x2＋3 11．求函数y＝的最小值． x2＋1解析 令t＝x2＋1，则t≥1，且x2＝t－1. x4＋3x2＋3?t－1?2＋3?t－1?＋3∴y＝＝ 2tx＋1t2＋t＋11＝＝t＋tt＋1. 1∵t≥1，∴t＋t≥211 t·＝2，当且仅当t＝即t＝1时，等号成立，tt， ∴当x＝0时，函数取得最小值3. 讲评 把已知函数解析式通过通分、拆项等方法，转化成满足基本不等式的条件的形式再求最值，是常用的方法． 12．已知a，b，c是不全相等的三个正数， b＋c－aa＋c－ba＋b－c 求证：a＋b＋c>3. b＋c－aa＋c－ba＋b－c解析 a＋b＋c bcacab＝a＋a＋b＋b＋c＋c－3 bacacb ＝(a＋b)＋(a＋c)＋(b＋c)－3，