专题03一元二次方程
高中必备知识点1：根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
b2b2?4ac(x?)?．① 22a4a因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
?b?b2?4acx1，2＝；
2a（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－
b； 2a（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x?原方程没有实数根．
b2)一定大于或等于零，因此，2a由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
?b?b2?4acx1，2＝；
2a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－
b； 2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
典型考题
【典型例题】
1
关于的一元二次方程，其根的判别式为，求的值．
【答案】．
【解析】 由题意得，
，
整理得，， 解得：
．
【变式训练】
已知关于的一元二次方程
若方程的一个根为，求的值及另一个根； 若该方程根的判别式的值等于，求的值． 【答案】(1)；即原方程的另一根是．
【解析】
（1）设方程的另一根是x2．
∵一元二次方程mx2
﹣（m+2）x+2=0的一个根为3， ∴x=3是原方程的解， ∴9m﹣（m+2）×3+2=0， 解得m=；
又由韦达定理，得3×
x2=， ∴x2=1，即原方程的另一根是1；
（2）∵△=（m+2）2
﹣4×
m×2=1 ∴m=1，m=3．
【能力提升】
2
2
方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b﹣4ac= ．
【答案】105 【解析】
先把方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．
2方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x﹣11x+2=0，
故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105．
高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
?b?b2?4ac?b?b2?4ac，x2?， x1?2a2a则有
?b?b2?4ac?b?b2?4ac?2bbx1?x2?????；
2a2a2aa?b?b2?4ac?b?b2?4acb2?(b2?4ac)4accx1x2????2?．
2a2a4a24aa所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
bc，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定aa典型考题
3
【典型例题】
2
如果关于x的一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这
样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2
﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程x2
+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．
【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；
（2）当方程根为1，2时， b＝﹣3，c＝2；当方程根为2，4时b＝﹣6，c＝8． 【解析】
（1）该方程是倍根方程，理由如下： x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4， ∴x2＝2x1，
∴一元二次方程x2
﹣6x+8＝0是倍根方程；
（2）∵方程x2
+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，
∴方程的另一个根是1或4，
当方程根为1，2时，﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，c＝1×2＝2； 当方程根为2，4时﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，c＝2×4＝8．
【变式训练】
求方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2（x1＞x2），并求x12
+2x2的值．
【答案】6 【解析】
方程x2
﹣2x﹣2＝0的根x1，x2，
?x21?2x1?2?0，x1?x2?2.
2∴
x1?2x2?2x1?2?2x2?2?x1?x2??2?2?2?2?6.
【能力提升】
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2
＝0有两根α，β
4