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【答案】解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；
如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．
类型三、等腰三角形性质与判定的综合应用
3、（2016春?威海期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE=AF．
【思路点拨】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF． 【答案与解析】 （1）证明：连接BD， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC， ∵∠BAC=120°，
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∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°， ∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD ∵∠EDF=60°， ∴∠BDE=∠ADF， 在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE=AF．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有 个．
【答案】4；
提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证∠BAD=∠CAD=∠B=30°，即证△ADB是等腰三角形；又证CD=DE，AE=AC，即证△CDE，△AEC是等腰三角形；再证ECB=∠B=30°，即证△BEC是等腰三角形．即图中的等腰三角形共有4个．
4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．
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【思路点拨】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角
平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，根据等腰三角形的判定推出即可．
【答案与解析】 证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF． 【总结升华】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，关键是推出∠CEF=∠CFE． 举一反三： 【变式】如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为（ ）
A. 30a B. 32a C. 34a D. 无法计算 【答案】A； 提示：设右下角第二个小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x；
x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a； x+3a，根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出围成的六边形的周长．
类型四、含30°角的直角三角形
5、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然 后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．
【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边
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等于斜边的一半解答即可．
【答案与解析】
解：∵∠ACB=15°，∠ADB=30°， ∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°， 即△CAD为等腰三角形， ∴AD=CD=13， 在△ADB中，∵AB⊥DB，∠ADB=30°， ∴AB=11AD=×13=6.5(m)． 22【总结升华】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键． 举一反三：
【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=1∠BAC，过点D作DE21DB． 2 【答案】
解：∵DE⊥AB， ∴∠AED=∠BED=90°， ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠3=∠4，又∵DE=DE， ∴△BED≌△AED（ASA）， ∴AD=BD，∠2=∠B， ∵∠BAD=∠2=1∠BAC， 2∴∠1=∠2=∠B， ∴AD=BD， 又∵∠1+∠2+∠B=90°， ∴∠B=∠1=∠2=30°， 在直角三角形ACD中，∠1=30°， ∴CD= 11AD= BD． 22类型五、反证法
6、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．
【思路点拨】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立． 【答案与解析】
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