第一章 弹塑性力学基础
1.1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 解：静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
1.2 对照应力张量间的关系？
与偏应力张量，试问：两者之间的关系？两者主方向之
解：两者主方向相同。
。
1.3 简述应力和应变Lode参数定义及物理意义： 解：??的定义、物理意义：
；
1) 表征Sij的形式；2) ??相等，应力莫尔圆相似，Sij形式相同；3) 由??可确定S1：S2：S3。
1.4设某点应力张量力矢量
的分量值已知，求作用在过此点平面，并求该应力矢量的法向分量
。
上的应
解：该平面的法线方向的方向余弦为
而应力矢量的三个分量满足关系
而法向分量满足关系最后结果为：
1.5利用上题结果求应力分量为面解：求出
可求得
最终的结果为
时，过平
，及该矢量的法向分量
后，可求出
。
，
处的应力矢量及切向分量
及
。
，再利用关系
1.6 已知应力分量为三次多项式
，求
以及与
，求
，其特征方程为
。如设法作变换，把该方程变为形式
的关系。
解：求主方向的应力特征方程为
式中：
是三个应力不变量，并有公式
代入已知量得为了使方程变为关系
形式，可令代入，正好项被抵消，并可得
代入数据得
1.7已知应力分量中解：在
，
，，
，求三个主应力
时容易求得三个应力不变量为特征方程变为
。 ，
求出三个根，如记
，则三个主应力为
记
1.8已知应力分量
，
是材料的屈服极限，求
及主应力
，
。
。
解：先求平均应力
，
由此求得：然后求得：
，，
，再求应力偏张量
，
，
，解出
然后按大小次序排列得到
，
1.9 已知应力分量中
，
，求三个主应力，以及每个
主应力所对应的方向余弦解：特征方程为
，
。对应于
记
的方向余弦，
。
，则其解为
，
应满足下列关系
，
（a） （b） （c）
由（a）,(b)式，得，，由此求得
，代入（c）式，得
对，，代入得
对，，代入得
对 1.10当
，，代入得
时，证明成立。
解：
由，移项之得
证得
第五章 简单应力状态的弹塑性问题
5.1 简述Bauschinger效应：
解：拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象
5.2 在拉杆中，如果
和为试件的原始截面积和原长，而
和为拉伸后的截
面积和长度。则截面收缩率为时，有这样的关系：证明：体积不变，则有
，而应变，试证明当体积不变
证毕！
5.3 对于线性弹塑性随动强化模型，若（1）、已知给定应力路径为（2）、已知给定应变路径为
，试求
，求对应的应变值。 ，求对应的应力值。
（1）解：①、，；②、，
③、，；④、，
⑤、，
，
（2）解：①、③、④、⑤、
，，
，
；②、，
；
5.4 在拉伸试验中，伸长率为，截面收缩率为，其中
和为试件的初始横截面面积和初始长度，试证当材料体积不变时有如下关系：
证明：将和的表达式代入上式，则有
5.5 为了使幂强化应力-应变曲线在
-应变关系：
时能满足虎克定律，建议采用以下应力
(1)为保证及在处连续，试确定、值。
的表达式。
(2)如将该曲线表示成 解：（1）由在
处连续，有
形式，试给出
（a）
由在处连续，有
（b）
（a）、（b）两式相除，有
（c）
由（a）式，有
（d）
（2）取 当 当
：
形式时， 即
：应力相等，有
解出得，
（代入值）
（代入
值）
5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线如图5-1所示，并表示如下：
图5-1
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？ 解：刚塑性模型不考虑弹性阶段应变，因此刚塑性应力应变曲线即为线，这不难由原式推得
曲
而在强化阶段，，因为这时
将都移到等式左边，整理之即得答案。
其中
5.7 已知简单拉伸时的变的比值
曲线由（5.1）式给出，考虑横向应变与轴向应
在弹性阶段，为材料弹性时的泊松比，但进入塑性阶段后值开
始增大最后趋向于。试给出的变化规律。
解：按题设在简单拉伸时总有
（a）
左边为体积变形，不论材料屈服与否，它要按弹性规律变化，即有
（b）
比较（a），（b）两式，得
将
表达式代入，即可得。
5.8如图所示等截面直杆，截面积为
作用一个逐渐增加的力相同。求左端反力
，且。在处
。该杆材料为线性强化弹塑性，拉伸和压缩时性能
和力的关系。
解：（1）弹性阶段
基本方程：平衡方程 （a） 几何方程
（b）本构方程
（c）联立求出 显然，
，段先屈服，取
，得
，当时，值如上述表达式。
（2）弹塑性阶段（a段塑性，b段弹性）平衡方程和几何方程仍为（a）、 （b）式。
本构方程： 且设
将本构方程代入几何方程：
即
两侧同乘面积
，并利用平衡方程（a），得
解出
令，则得
本阶段结束时，
由几何方程 z
且
利用平衡方程
当
时，
为（e）式。
3）塑性阶段
平衡方程和几何方程同上。
本构方程 与（2）弹塑性阶段同样步骤：可得
e）f）g）（
（
（（
5.9 如图所示等截面直杆，截面积为
的力
，且
。在
处作用一个逐渐增加
。该杆材料为理想弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。按加载过程分析
作用截面的位移与
的关系。
结构所处不同状态，并求力解：基本方程为
平衡方程
（a）
几何方程
（b）
本构方程 （1）弹性阶段 由前题知，
因
，故
。
截面位移
本阶段终止时，
（2）弹塑性阶段（ 此时，
截面位移由段变形控制：
）
且本阶段终止时，
（3）塑性阶段（
无限位移（
为不定值）。
）
（4）图线斜率比较：
段：
段：
5.10 如图所示三杆桁架，若加载时保持
，杆件截面积均为，理想弹塑性材料。
并从零开始增加，求三杆内力随的变化规律．
解：基本方程为
几何方程： 协调关系：
本构方程： （1）弹性阶段（
）
利用（a）、（b）及（c）第一式，联立求解得
即
a)b）（
（
可看出
结构弹性极限：令
有 （2）弹塑性阶段（
取
）
，结构成为静定，由平衡方程
解得
若取此时即当进入塑性阶段，当此结构
。
时，内力为上列，即
值，当时，杆1和杆2 已
时，两杆为无线变形，结构已成为机构。 故，
第六章 屈服条件和加载条件
6.1 简述屈服面、屈服函数的概念：
解：根据不同的应力路径进行实验，可以分别从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，这些界限即是屈服点。在应力空间将这些屈服应力点连接起来，就形成一个区分弹性和塑性的分界面，成为屈服面。描述这个屈服面的数学表达式成为屈服函数或屈服条件。
6.2 简述Tresca屈服条件和Mises屈服条件： 解：Tresca条件：(?1-?3)/2=k，k=?s/2或?s； Mises条件：J2’=C，C=?s2/3或?s2； 6.3 设
形式为：
为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises屈服条件时，其
证明：Mises屈服条件为
故有
6.4 试用应力张量不变量解：
Mises屈服条件：
和表示Mises屈服条件。
故有
6.5 试用Lode应力参数解：由定义：
表达Mises屈服条件。
即 Mises屈服条件为
将上式代入，得：
即：
6.6 物体中某点的应力状态为
时
，该物体在单向拉伸
，试用Mises和Tresca屈服条件分别判断该点是处于弹性
状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变（即同值异号），则对被研究点所处状态的判断有无变化? 解：（1）Mises屈服条件判断
故该点处于弹性状态 （2）Tresca屈服条件判断
故该点处于塑性状态
如果各应力均作为变号，则以上各式不变，所作判断没有变化。
6.7 已知薄壁圆球，其半径为，厚度为，受内压
屈服条件，试求内壁开始屈服时的内压解：研究半球的静力平衡
的作用，如采用Tresca
值。
内球面：，外球面：
由Tresca条件，内壁先开始屈服，此时
6.8证明下列等式：
（1）、 （2）、
证明：（1）、右边
=左边 证毕！
（2）、
6.9 设、
、
证毕！
为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises屈服条件时，其形式为
，提示：
证明：Mises屈服条件：
，
，
又
又
证毕！
第七章 塑性本构关系
7.1 塑性全量理论的成立条件：
解：（1）应力主方向与应变主方向是重合的，即应力Mohr圆与应变Mohr圆相似，应力Load参数
和应变Load参数
相等，而且在整个加载过程中主方向
保持不变；
（2）平均应力与平均应变成比例；
（3）应力偏量分量与应变偏量分量成比例；
（4）等效正应力是等效正应变的函数，而这个函数对每个具体材料都应通过试验来确定。
7.2 简述简单加载定理： 解：简单加载就是指单元体的应力张量各分量之间的比值，在加载过程中保持不变，按同一参数单调增长。
7.3 简述单一曲线假定： 解：按不同应力组合所得的
曲线基本上和简单拉伸时的
曲线一样。
7.4 比较两种塑性本构理论的特点： 解：增量理论和全量理论。增量理论将整个加载历史看成是一系列的微小增量加载过程所组成，研究每个微小增量加载过程中应变增量与应力增量之间的关系，再沿加载路径依次积分应变增量得最终的应变。全量理论不去考虑应力路径的影响，直接建立应变全量与应力全量直接的关系。
7.5 已知一长封闭圆筒半径为r,壁厚为t，受内压p的作用，从而产生塑性变形，材料是各向同性的。如果忽略弹性应变，试求轴向、周向和径向应变增量的比。 解：在
方向的主应力分别为：
，则
，从而求得应力偏量
，得最终结果为（-1）：1：0
，再根据增量理论
7.6 已知薄壁圆筒受拉应力
的作用，若使用Mises屈服条件，试求屈服时扭转应
力为多大，并求此时塑性应变增量的比。
解：设扭转剪应力，主应力为：，，代
入Mises屈服条件，得
7.7 证明等式：
。
证明： 将
对
求偏导，可得
，同理可得，，
，所以
7.8 一泊松比为
，
；用同样的方法求得。
，满足Mises屈服条件的单元体，已知其受力状态为，
，x,y,z是主方向。求：
时屈服，求
；
，求此时的
、
、
。
（1）当从零增加到（2）当
=
时，继续加载，使
解：1）开始屈服时，代入Mises屈服准则
得
2）屈服后对应的塑性应变增量为
；
及屈服条件的微分形式
由
，联列可得
，
式子得到答案结果。
7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。 （1）单向拉伸应力状态，
；
，代入
（2）纯剪力状态，。
解：（1）单向拉伸应力状态
有
则
（2）纯剪切应力状态，
有 故
7.10 如何利用与Tresca屈服条件相关联的流动法则？
第八章 理想刚塑性的平面应变问题
8.1简述滑移线的概念：
解：在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移线。
剪切应力是最大剪应力。
平衡方程——沿?线：? ?2k?=C? 或?? =2k??? ；
沿?线：? +2k?=C? 或?? = ?2k??? ；
速度方程——沿?线：dv? ?v? d?=0；
沿?线：dv? +v? d?=0。
8.2 简述Hencky第一定理： 解：如果由一条滑移线
转到另一条滑移线
，则沿任何一个族的滑移线而
变化的角和压力的改变值而保持常数。
8.3推导Levy—Mises关系式
证明：对于平面应变问题，刚塑性材料的本构关系为：
证毕！
8.4在刚塑性平面应变条件下，用Tresca屈服条件下，证明公式
证明：Tresca屈服条件为：
对于平面应变（在xoy平面内）有：同时：屈服应力。
，其中k为纯剪
整理得：
是其中一个主应力，故其余两个主应力可以由以下公式确定：
整理得：
证毕！
8.5图示的楔体，两面受压，已知p
，分别对q=0.5p,q=p两中情况，求极限荷载
解：① q=p时，见图（1），在沿
线，
，
中：
,
，
② q=0.5p时， 情况一见图（2），在在沿
中：线，
，中：
，
,
情况二见图（1），与①一样 所以
8.6 已知具有尖角为
的楔体，在外力P的作用下，插入具有相同角度的V形缺口
内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1）、楔体与V形缺口之间完全光滑；2）、楔体与V形缺口接触处因摩擦作用其剪应力为k。
解：1） OD边：
GD边：
沿线，，
2） 沿OB线，
，
8.7 Mises线性等强化材料，在平面应变（试导出用表示的强化规律和本构关系。 解：当
时，在弹性阶段有
）和泊松比
条件下，
得
平均应力 因此在弹性阶段有
，进入塑性后有
对平均应变
刚进入塑性时后还满足只是与则有
。由上式导出。由于
。在塑性应变增量方面，由于
，并可得出
。因此进入塑性
，得出
，而
，故实际独立变量
。
最后得到答案结果。
8.8 理想刚塑性材料的平面应变问题，已知两种屈服条件，讨论应力偏张量
的值。
，现在
，分别对Mises和Tresca
解：（1）Mises屈服条件。由流动法则 （2）Tresca屈服条件，在
，将得出如下：
。
平面内求得主应力
由于
，而
，即
即
(a)
由流动法则，这要求应力点处在屈服面
(b)
上，即
并要求
，或
(c）
(d)由
代入(d)式，得
由代入，得
第九章 塑性极限分析
9.1 弹性弯曲时，材料力学中对梁的两个基本假定内容： 解：（1）平截面假定：梁的横截面变形后仍然保持平面；
（2）只有截面上的正应力是主要的，其它应力分量均可忽略。
9.2 上、下限定理的表述及应用：
解：上限定理：机动乘子S*?真实乘子S；
下限定理：静力乘子S0?真实乘子S； 综合：S0? S ? S*。
9.3 塑性铰的主要特征为： 解：（1）铰上作用弯矩，弯矩值保持为极限弯矩，M=Ms;
(2)铰的转角可以任意增大，但必须同弯矩的方向一致，因而它是个单向转动的铰，若截面上的M减小，也即卸载，需按弹性计算。此时铰就停止转动，保持一个残余转角。
9.4 使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。
解1：（1）静力法
首先该超静定梁（）化为静定结构（）、（）。分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（在极限情况下：设点支反力为
，则：
）
，
由上二式得
当值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故（2）机动法
设破坏机构如图（），并设
点挠度为，则：
为该梁的完全解。
，
外力功由
，内力功，可得极限载荷上限为
由于在作用下，，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。
解2：（1）静力法
先将该超静定梁化为静定梁（）、（），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（）
设点为坐标原点，此时弯矩方程为：
在极限状态时，有
；
令得 （1）
而 （2）
（3）
联立解（1）、（2）、（3）得
解得
取较大的值，可得在以上
值作用下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解。
（2）机动法 如图（g） 设在、
两点形成塑性铰
内力功为：
外力功为：
由虚功原理，得：
该解与完全解的误差为
解3：（1）静力法
设坐标原点在点，此时弯矩方程为：
段（）
段（）
在处，为极大值，设在段，由
得，则 在极限情况下：
，
即： 1）（2）
（
（3）
联立解（1）、（2）、（3）得：
取正号
由于此时形成破坏机构，故值完全解。 （2）机动法,如图（g）
设此梁在和处形成塑性铰，则
，
内力功为：
外力功为：
由虚功原理 得：
由极值条件得
代入的表达式，则得由于此结果满足
的极小值：
，故所得的值为完全解的极限载荷。
9.5试用机动法求下列图示板的极限载荷 。
(1)四边简支，边长为的正方形板，载荷作用在板的中点；
(2)三边简支一边自由的矩形板，在自由边中点承受集中力的作用； (3)四边简支矩形板，在板上任意点(
)承受集中力的作用．
解：（a）外力功
如破坏时四角可以翘起。内力功
其中
代入上式后，得
由虚功原理得
其中值由确定即
由此得
因此
（b）外力功内力功由
得
而
故
（c）外力功
内力功
其中
由得
9.6 使用机动法求图示连续梁的极限载荷。
解1：次梁为一次超静定梁，可能的破坏机构有两种，如图（b）、（c）。
若塑性铰在、处形成，此时
外力功：内力功：
由得：
若塑性铰在、处形成，设到得距离为，此时有
外力功：
内力功：
由得：
令得：
将代入的表达式
比较以上两种可知该梁的极限荷载为
解2：该连续梁形成破坏机构有如下三种形式：
（1） 形成两个塑性铰产生局部破坏有两处可能，图（b）、形成塑性铰
故 ，
由得
图（c）、两点形成塑性铰，此时有
故，
由得：
（2） 形成三个塑性铰，产生局部破坏有三种可能：
图（d）在
、
、
三点形成塑性铰，此时有
由得：、
、
图（e）在三点形成塑性铰，此时
由
得、
、
图（f）在三点形成塑性铰，此时
由
得：
（3） 形成三个塑性铰，产生整体破坏，只有一种可能性，如图（g），此时
由得：
比较上述六种情况，以（g）的情况塑性弯矩条件。 故破坏载荷为
为最小，而且此载荷满足的
解3：该梁的可能破坏结构与第一题完全相同 若塑性铰在
、
处形成：
若塑性铰在、处形成：
比较可知梁的极限载荷为
解4：此梁为一次超静定结构，当形成两个塑性铰时，梁即成为破坏机构，其破坏形式有（b）（c）（d）三种可能。
按图（b）形式破坏时
由
得：
按图（c）形式破坏时，同上得
按图（d）形式破坏时
由
得：
比较得
9.7 试求图示刚架的极限载荷．
解：（a）设如图在四点形成塑性铰，
由得
得且此值满足
，条件
所以
解2：如图设在
四点形成塑性铰，
由点到点的距离待定。
由得
化简得
令得
故
解3：如图设在等处形成塑性铰。
外力功内力功由
得
故
9.8对图所示的连续梁，利用上限定理求极限载荷q.
题图11.6
解 1）对破损机构（a）
可得
由，得
2）对破损机构（b）
代入上式，得 （a）
由，得，代入上式得，
，故有
（b）
当（a）式和（b）式相等时，
9.9 图示宽度b不变，高度h线性变化的矩形截面梁，简支座截面高为
，固定
端处截面高为。集中力据简支端距离为，对两种情况用上限方法
求塑性极限载荷P值。
题图9.9
解：由于各截面的
值不同，因此除集中力
距
点距离
作用点能形成铰外，另一铰
为，而不一定总在固定端，如图所示。
由外力功率，内力功率，得
令，得
（a）
上式中是定值，调整使最小，由，得
（b）
1） 当时，即，代入（b）式，得。因为，而现在
，故最小值的只能取在固定端处，将代入（a）
式，得
2） 当时，即，代入（b）式，得。因为，这表明铰
不在固定端，将
代入（a）式，得