19．解：过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，过C作CF⊥AB交AB于CF⊥AB，AC⊥BD∠ACF+∠FAC＝90°，∠ABD+∠BAC＝90° ∴∠ACF＝∠ABD ∵AC＝BC，CF⊥AB， ∴AF＝BF，∠ACF＝∠BCF ∴∠ABD＝∠BCF，

∵DE⊥AB，CF⊥AB，∠ABD＝∠BCF，BC＝BD ∴△BDE≌△CBF（AAS） ∴BF＝ED ∵AF＝BF， ∴AB＝2BF＝2ED ∵S△ABD＝

∴×2BF×BF＝6， ∴BF＝∴AB＝2

，

＝6

故答案为：2

20．解：过点A作AM⊥BC于点M，交CD于点N， ∴∠AMB＝∠AMC＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，AM＝BM＝CM，∠BAM＝∠CAM＝45°，

设∠BAE＝α，则∠EAM＝45°﹣α，∠AEC＝∠B+∠BAE＝45°+α， ∵AE⊥CD于点F，

∴∠AFD＝∠AFC＝∠EFC＝90°， ∴∠ACF＝90°﹣∠CAF＝∠BAE＝α， ∴∠ECF＝∠ACB﹣∠ACF＝45°﹣α＝∠EAM， ∵GH⊥BC于H， ∴∠CHG＝∠CHK＝90°，

∴∠CGH＝90°﹣∠ECF＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α，∠K+∠KCH＝90°， ∵∠K+2∠BAE＝90°， ∴∠KCH＝2∠BAE＝2α，

∴∠KCG＝∠KCH+∠ECF＝2α+（45°﹣α）＝45°+α， ∴∠CGH＝∠KCG， ∴KG＝KC，

∵HG：HK＝2：3，设HG＝2a，HK＝3a， ∴KC＝KG＝5a， ∴Rt△CHK中，CH＝∴Rt△CHG中，tan∠ECF＝∴Rt△CMN中，tan∠ECF＝∴MN＝CM＝AM＝AN， ∵∠ECF＝∠EAM＝45°﹣α， ∴Rt△ANF中，tan∠EAM＝设FN＝b，则AF＝2b， ∴MN＝AN＝∴AM＝CM＝2AN＝∴Rt△CMN中，CN＝∴CF＝FN+CN＝6b， ∴Rt△ACF中，tan∠ACF＝

，

，

， ， ， ，

b，

，

∵∠ACF＝∠DAF＝α， ∴Rt△ADF中，tan∠DAF＝∴DF＝AF＝

，

，

∵AD2＝AF2+DF2，AD＝10， ∴102＝（2a）2+（b）2， 解得：b1＝∴CF＝6×故答案为：9

． ，b2＝﹣

，

（舍去），

三．解答题（共10小题）

21．解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠A＝∠C，

∵AB＝CD，∠A＝∠C，∠CED＝∠AFB＝90° ∴△ABF≌△CDE（AAS） ∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b， ∵EF＝c，

∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c 22．证明：（1）∵∠DAB＝∠DBE＝α， ∴∠ADB+∠ABD＝∠CBE+∠ABD＝180°﹣α． ∴∠ADB＝∠CBE 在△ADB和△CBE中，

∵

∴△ADB≌△CBE（AAS） ∴AD＝CB，AB＝CE． ∴AC＝AB+BC＝AD+CE （2）补全图形．

△ACF为等边三角形． 理由如下：

∵△BEF为等边三角形，

∴BF＝EF，∠BFE＝∠FBE＝∠FEB＝60°． ∵∠DBE＝120°，∴∠DBF＝60°． ∵∠ABD＝∠CEB（已证）， ∴∠ABD+∠DBF＝∠CEB+∠FEB， 即∠ABF＝∠CEF． ∵AB＝CE（已证）， ∴△AFB≌△CFE（SAS）， ∴AF＝CF，∠AFB＝∠CFE．

∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠CFE+∠BFC＝60°． ∴△ACF为等边三角形．

23．（1）证明：作AF⊥BC于F，如图1所示： ∵AD＝AC＝CE，

∴DF＝CF，∠ADC＝∠ACD，∠CEA＝∠EAC， ∵∠1+∠ADC＝90°，∠ACD+∠2＝90°， ∴∠1＝∠2，

∵∠B+∠1＝∠CEA＝∠EAC＝∠EAF+∠2，