DE＝DC，点F是DE与AC的交点．

（1）求证：∠BDE＝∠ACD；

（2）若DE＝2DF，过点E作EG∥AC交AB于点G，求证：AB＝2AG；

（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．

①求证：AB?BE＝AD?BC；

②若DE＝4DF，请直接写出S△ABC：S△DEC的值．

30．（2019?河北模拟）在△ABC中，AB＝BC，点O是AC的中点，P是AC上的一个动点（点

P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为E和F，连接OE，OF．

（1）如图1，线段OE与OF的数量关系是 ；

（2）如图2，当∠ABC＝90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）若|CF﹣AE|＝2，EF＝2

，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段PF的长．

参考答案

一．选择题 1．解：连接CD，

∵点D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE∥AC，DE＝AC．

∵延长AC到F，使得CF＝AC， ∴DE∥CF且DE＝CF， ∴四边形CDEF是平行四边形． ∴CD＝EF＝4．

∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB中线， ∴AB＝2CD＝8．

故选：A． 2．解：∵CE∥DF， ∴∠AEC＝∠AFD＝58°， ∵∠AEC＝∠B+∠BCE，

∴∠BCE＝∠AEC﹣∠B＝58°﹣30°＝28°； 故选：B．

3．解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°， ∴∠AED＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△BDE中，BD＝540m，∠D＝30°， ∴DE＝

BD＝270m，

米．

答：DE的长为270故选：B．

4．解：连接DE，

∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2， ∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°， ∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°， ∴FC＝EC＝1， 故EF＝

＝

，

∵G为EF的中点， ∴EG＝∴DG＝故选：B．

，

＝

．

5．解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴AB＝2CD＝4， ∴BC＝∴tanA＝故选：C． 6．解：如图所示：

∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BCA＝45°， ∵a∥b，∠1＝60°， ∴∠DAC＝∠1＝60°， ∴∠2＝∠DAC+∠ACB＝105°， 故选：B．

＝

＝

＝

7．解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接

OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4 ∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4 ∴△ABP是等边三角形 ∴∠FBH＝30°

∴Rt△FHB中，FH＝FB

∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值 ∵AE⊥CD于点G ∴∠AGC＝90° ∵O为AC中点 ∴OA＝OC＝OG＝AC

∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动 ∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值 ∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3， sin∠P＝∴OQ＝

OP＝

∴GH最小值为故选：C．