设点G到AC的距离为h，

∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×8+×4∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，

∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点， ∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线． 由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°， 延长EG交AC于H，则EH⊥AC， 在Rt△ABC中，sin∠BAC＝

＝

， ，

×h＝2

h+16，

在Rt△AEH中，AE＝3，sin∠BAC＝∴∴EH＝

＝

，

﹣1，

∴h＝EH﹣EG＝∴S四边形AGCD最小＝2故答案为：28﹣2

h+16＝28﹣2

．

，

24．解：如图，EP＝CE＝BC＝2，故点P在以E为圆心，EP为半径的半圆上， ∵AP+EP≥AE，

∴当A，P，E在同一直线上时，AP最短， 如图，过点E作EF⊥AB于点F，

∵在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点， ∴BE＝BC＝2，∠EBF＝60°， ∴∠BEF＝30°，BF＝BE＝1， ∴EF＝

＝

，AF＝5，

∴AE＝＝＝2﹣2．

，

∴PA的最小值＝AE﹣PE＝2故答案为：2

﹣2．

三．解答题（共6小题）

25．解：（1）如图1，∵E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点， ∴AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠BCF＝90°，CF＝FD＝CD，BE＝EC＝BC， ∴BE＝CF，

∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CBF+∠BEA＝90°， ∴∠BGE＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥BF；

（2）如图2，△ABE，△BCF，△BPF，△ADF的面积都等于正方形ABCD面积的． 26．解：（Ⅰ）∵A（5，0），点C（0，3）， ∴OA＝6，OC＝4，

由翻折可知：∠OPC＝∠OPA， ∵BC∥OA， ∴∠OPC＝∠OPA， ∴∠POA＝∠OPA， ∴OA＝PA＝6， 在Rt△PAB中，

∵∠B＝90°，AB＝4，PA＝6，

∴PB＝＝

，

＝2，

∴PC＝BC﹣PB＝6﹣2∴P（6﹣2

，4）．

（Ⅱ）如图②，连接CC′交OP于D．

在Rt△OPC中，∵OC＝4，PC＝3， ∴OP＝

＝

＝5，

∵OP垂直平分线段CC′， 又∵OP?CD＝OC?PC， ∴CD＝

，

PD＝，

∵PC＝PB，CD＝DC′， ∴BC′＝2PD＝

．

27．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB，

由翻折变换的性质可知，∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝∠FDB， ∴∠EBD＝∠FDB， ∴EB∥DF， ∵ED∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形； （2）解：∵四边形BFDE为菱形， ∴∠EBD＝∠FBD，

∵∠EBD＝∠ABE， ∴∠EBD＝∠FBD＝∠ABE， ∵四边形ABCD是矩形， ∠ABC＝90°，

∴∠EBD＝∠FBD＝∠ABE＝30°， ∴AB＝

，

．

∴菱形BFDE的面积S＝DE×AB＝228．（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°

∵由翻折的性质可知∠F＝∠A，BF＝AB， ∴BF＝DC，∠F＝∠C． 在△DCE与△BEF中，

∴△DCE≌△BFE．

（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC＝∵△DCE≌△BFE， ∴BE＝DE．

设BE＝DE＝x，则EC＝3﹣x．

在Rt△CDE中，CE2+CD2＝DE2，即（3﹣x）2+（解得：x＝2． ∴BE＝2．

29．解：（1）如图所示，△ABD和△ACD即为所求；

）2＝x2．

＝3．

（2）两个图形中线段BD的长度之和为+2＝．