∴∠BFH＝∠BFG+∠GFH＝∴∠AFB+∠DFH＝90°． 又∵∠AFB+∠ABF＝90°， ∴∠ABF＝∠DFH． 又∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABF∽△DFH， ∴

，

180°＝90°，

在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝∴∴FH＝故答案为3

， ． ．

，

20．解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6， ∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝3， ∴AE＝

＝

＝5，

∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处， ∴PD′＝PD，

设PD′＝PD＝x，则AP＝6﹣x， 当△APD′是直角三角形时， ①当∠AD′P＝90°时， ∴∠AD′P＝∠B＝90°， ∵AD∥BC，

∴∠PAD′＝∠AEB， ∴△ABE∽△PD′A， ∴∴

＝

，

＝，

∴x＝， ∴PD＝；

②当∠APD′＝90°时， ∴∠APD′＝∠B＝90°， ∵∠PAE＝∠AEB， ∴△APD′∽△EBA， ∴∴∴x＝∴PD＝

， ＝， ， ，

，

综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD＝或故答案为：或

．

21．解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'， 根据轴对称性质可知，PN＝PN'， ∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，

当P，M，N'三点共线时，取“＝”， ∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°， ∴AC＝6，

∵O为AC中点， ∴AO＝OC＝3， ∵AN＝2， ∴ON＝1，

∴ON'＝1，CN'＝2， ∴AN'＝4，

∵BMBM＝BC＝×6＝4， ∴CM＝AB﹣BM＝6﹣4＝2， ∴

＝

＝，

∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60°， ∵∠N'CM＝60°， ∴△N'CM为等边三角形， ∴CM＝MN'＝2，

即PM﹣PN的最大值为2， 故答案为：2．

22．解：如图所示；点E与点C′重合时．

在Rt△ABC中，BC＝＝＝8，

由翻折的性质可知；AE＝AC＝6、DC＝DE．则EB＝10﹣6＝4． 设DC＝ED＝x，则BD＝8﹣x．

在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+42＝（8﹣x）2． 解得x＝3，

如图所示：∠EDB＝90时，

由翻折的性质可知：AC＝AC′，∠C＝∠C′＝90°． ∵∠C＝∠C′＝∠CDC′＝90°， ∴四边形ACDC′为矩形． 又∵AC＝AC′，

∴四边形ACDC′为正方形． ∴CD＝AC＝6．

∴DB＝BC﹣DC＝8﹣6＝2． ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BCA．

＝

即

，

，

解得DE＝，

点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，（假设∠DBC′≥90°，则AC′≥BD，这个显然不可能，故∠DBC′＜90°）， 故∠DBC′不可能为直角． 故答案为3或．

23．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝

＝4

，

＝

∵AB＝4，AE＝3，

∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，