《实际问题与二次函数》教案

教学目标

知识与技能

通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义，能对变量的变化趋势进行预测.

过程与方法

经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；

教学重点和难点

重点：

解决与二次函数有关的实际应用题. 难点：

二次函数的应用.

教学过程

(一)情景导入 观察以下的图片：

通过观察我们发现这些图片给我们以抛物线的印象，可见二次函数的应用在生活中是普遍存在的，前面我们结合实际问题，讨论了二次函数，看到了二次函数在解决实际问题中的一些应用，下面我们进一步用二次函数讨论一些实际问题.

问题引入：

1.求下列函数的最大值或最小值． (1)(2)

(二)知识探究 探究1

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件：每降价1元，每星期可多买出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况. 教师展示问题:①该如何定价呢？

(学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题．教师帮助学生解决问题．) ②本问题中的变量是什么？(利润随着价格的变化而变化)； 教师关注：

(1)学生对商品利润问题的理解；利润＝销售额－进货额 销售额＝销售单价×销售量 进货额＝进货单价×进货量 总利润＝每件商品的利润?总稍售量 (2)学生对两个变量的理解．

师生共同分析：(1)销售额为多少？(2)进货额为多少？ (3)利润y与每件涨价x元的函数关系式是什么？ (4)变量x的范围如何确定？ (5)如何求解最值？

(1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数式.涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元.因此，所得利润

y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)， 即y＝－10x＋100x＋6000，

其中，0≤x≤30.(怎样确定x的取值范围？)

2

y x 根据上面的函数，填空：

当x＝_____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价________元，即定价_________元时，利润最大，最大利润是_______.

小组讨论得到：

①画出函数的图像，观察图像的最高(或最低)点，就可以得到函数的最大(或最小)值. ②依照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值；再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大(或最小)值.

教师关注：

(1)学生能否用函数的观点来认识问题； (2)学生能否建立函数模型；

(3)学生能否找到两个变量之间的关系；

(4)学生能否从利润问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值． (2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论自己得出答案. 设每件降价x元，每星期售出的商品的利润y随x的变化： y=(60－x－40)(300+20x) =?20x2?100x?6000 自变量x的取值范围： 0≤x≤20

当x=2.5时，y的最大值为6125

由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？ 最后综合涨价与降价两种情况，得出本题的答案.

教师关注：有部分学生直接设定价为x，利润为y

y?(x?40)[(60?x)?20?300]40?x?60

(通过第二种方法的介绍引导学生发现：当所设的变量不同，所得的解析式不同，并且自变量的取值范围也有所不同．)

在活动中，教师应重点关注：

(1)学生在利用函数模型时是否注意分类了；

(2)在每一种情况下，是否注意自变量的取值范围了； (3)是否对二种情况的最大值进行比较； (4)对问题的讨论是否完整．

小结

学生谈体会． 教师进行补充、总结．

教师关注：(1)实际问题中抽象出数学问题；(2)建立数学模型，解决实际问 题；(3)掌握数形结合思想；(4)感受数学在生活实际中的使用价值．