2k?vAu2?k有t1?2t， t-t1?2t (5) 22u?vAu?vA在t1时刻，位于A?t1?处的汽车A发出的笛声沿直线（即波线）A?t1?B?t?在t时刻传到B?t?处，以?A?t1?、?B?t?分别表示车速与笛声传播方向的夹角，有

vAt1vA(u2?k) (6) cos?A?t1???2u?t-t1?u(k?vA)vBtvB(u2?v2A) (7) cos?B?t???2u?t-t1?u(k?vA)令??表示B车司机接收到的笛声的频率，由多普勒效应可知

u?vBcos?B?t????0 (8)

u?vAcos?A?t1? 由（6）、（7）、（8）式，得

2222?222u2??u2v2A?vB?vAvB?vA??vBu?vA???0 ??2222222u?vAuvA?vB?vAvB????????例9（第23届复赛）串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备，右图是其构造示意图。S是产生负离子的装置，称为离子源；中间部分N为充有氮气的管道，通过

高压装置H使其对地有5.00?10V的高压。现将氢气通人离子源S，S的作用是使氢分子变为氢原子，并使氢原子粘附上一个电子，成为带有一个电子电量的氢负离子。氢负离子（其初速度为0)在静电场的作用下，形成高速运动的氢负离子束流，氢负离子束射入管道N后将与氮气分子发生相互图（6） 作用，这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而成为氢原子，又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子。已知氮气与带电粒子的相互作用不会改变粒子的速度。质子在电场的作用下由N飞向串列静电加速器的终端靶子T。试在考虑相对论效应的情况下，求质子到达T时的速度v。

电子电荷量q?1.60?10?196C，质子的静止质量m0?1.673?10?27 kg。

解析 带电粒子在静电场内从S到T的运动过程中，经历了从S到N和从N到T的两次加速，粒子带的电荷量q的大小均为1.60?10?19C，若以U 表示N 与地之间的电压，则粒子从电场获得的能量 ?E?2qU (1) 质子到达T处时的质量 m?m01??vc?2 (2)

式中v为质子到达T时的速度．质子在S处的能量为m0c2，到达T处时具有的能量为mc2，电子的质量与质子的质量相比可忽略不计，根据能量守恒有

mc2??E?m0c2 （3） 12qU?1?由（1）、（2）、（3）式得 22mc01??vc?代入数据解得 v?4.34?107m/s

例10（第24届复赛）今年是我国著名物理学家、曾任浙江大学物理系主任的王淦昌先生诞生一百周年。王先生早在1941年就发表论文，提出了一种探测中微子的方案：Be原

7*子核可以俘获原子的K层电子而成为Li的激发态(Li)，并放出中微子（当时写作η）

777Be?e?(7Li)*??

而(7Li)*又可以放出光子?而回到基态Li

7(7Li)*?7Li??

由于中微子本身很难直接观测，能过对上述过程相关物理量的测量，就可以确定中微子的存在，1942年起，美国物理学家艾伦（R.Davis）等人根据王淦昌方案先后进行了实验，初步证实了中微子的存在。1953年美国人莱因斯（F.Reines）在实验中首次发现了中微子，莱因斯与发现轻子的美国物理学家佩尔（M.L.Perl）分享了1995年诺贝尔物理学奖。

现用王淦昌的方案来估算中微子的质量和动量。若实验中测得锂核（Li）反冲能量（即

77Li的动能）的最大值ER?56.6ev，?光子的能量h??0.48Mev。已知有关原子核和电

7子静止能量的数据为mLic2?6533.19Mev；mec2?0.51Mev。.84Mev；mBec2?6534设在第一个过程中，Be核是静止的，K层电子的动能也可忽略不计。试由以上数据，算出的中微子的动能P?和静止质量m?各为多少？

解析 根据题意，Be核和K层电子的动量都为零，在第一个反应中，若用pLi*表示激发态锂核

7?

?Li?7??的动量，pη表示中微子η的动量，则由动量守恒定律有

p??p??0 （1）

Li反冲锂核Li的动量，p?表示光子的动量，则由动量守恒定律有

p??pLi?pγ （2）

Li由（1）、（2）式得 pLi??pγ?p? （3）

7???即激发态锂核的动量与中微子的动量大小相等，方向相反.在第二个反应中，若用pLi表示

?????????当锂核的反冲动量pLi最大时，其反冲能量也最大. 由（3）式可知，当中微子的动量与γ光子的动量同方向时，锂核的反冲动量最大.注意到γ光子的动量

h? （4） ch?有 pLi?pη? （5）

c pγ?由于锂核的反冲能量比锂核的静能小得多，锂核的动能与其动量的关系不必用相对论关系表

2pLi示，这时有 ER? （6）

2mLi由（5）、（6）式得 pηc?2mLic2ER?h?

（7）

代入有关数据得 pη?0.38MeV/c （8）

2222c?pηc （9） 用Eη表示中微子的能量，根据相对论Eη?mη根据能量守恒定律有 mBec2?mec2?mLic2?ER?h??Eη

2（10）

12由（9）、（10）式得 mηc??mBec?mec?mLic?ER?h??pc? 11）

????由（8）式和已知数据得 mη?0.00MeV/c2 （12）

222?2η??2由（12）式可知，所算出的中微子静止质量的数值在题给数据的误差范围之内，故不能确定中微子的静止质量．如果有，其质量一定小于0.1MeV/c2

例11（第26届预赛）一静止的原子核A发生α衰变后变成原子核B，已知原子核A、原子核B和α粒子的质量分别为mA、mB，和mα，光速为c（不考虑质量与速度有关的相对论效应）, 求衰变后原子核B和α粒子的动能．

解析 设α粒子速度的大小为vα，原子核B速度的大小为vB，在衰变过程中动量守恒，有 mαvα+mBvB=0 (1)

衰变过程中能量守恒，有解（l）、（2）二式得

http://hfwq.cersp. mAc?21122m?v??mBvB?m?c2?mBc2 （2） 22m?12mBvB?(mA?mB?m?)c2 2m??mBmB12 m?v??(mA?mB?m?)c2

2m??mB 【训练题】

练习1 试从相对论能量和动量的角度分析论证：

（1）一个光子与真空中处于静止状态的自由电子碰撞时，光子的能量不可能完全被电子吸收。

（2）光子射到金属表面时，其能量有可能完全被吸收并使电子逸出金属表面，产生光电效应。

2

练习2 一原子核基态的静质量为M，激发态比基态的能量高ΔE，已知ΔE<

(?E2) 项可以略去。 2Mc （1）试求下列两种情况下光子的频率：（a）该核处在基态且静止时吸收一个光子；（b）

该核处在激发态且静止时辐射一个光子。

（2）试论证：处在激发态的静止核所辐射光的光子，不能被处在基态的同类静止核吸收。

练习3 放射性物质的原子放射出两个沿相反方向运动的电子。在实验室中测出每个电子的速率为0.6c，c是光速。今以一个电子为参照物，另一个电子的速率是多大？（1）用伽利略变换进行计算；（2）用洛仑兹变换进行计算。并指出哪个不合理。

练习4 一个静止质量为m0的粒子以速率v?4c运动，它和一个同类的静止粒5子进行完全非弹性碰撞。求：

（1）复合粒子的速率。

（2）复合粒子的静止质量。

练习5 求证：在伽利略变换下，质点动量定理具有不变性。

练习6 一个静止质量为M的体静止在实验室中，裂变为静止质量为m1和m2的两部分，试求裂变产物的相对论动能EK1和EK2。

练习7 爱因斯坦的“等效原理”指出，在不十分大的空间范围和时间间隔内，惯性系中引力作用下的物理规律与没有引力但有适当加速度的非惯性系中的物理规律是相同的。现在研究以下问题。

（1）试从光量子的观点出发，讨论在地面附近的重力场中，由地面向离地面的距离为L处的接收器发射频率为0的激光与接收器接收到的频率v之间的关系。

（2）假设地球物体没有引力作用，现在一以加速度a沿直线做匀加速运动的箱子中做一假想实验。在箱尾和箱头处分别安装一适当的激光发射器和激光接收器，两者间的距离为L，现从发射器向接收器发射周期为

vT0的激光。试从地面参考系的观点

出发，求出位于箱头处的接收器所到的激光周期T。

（3）要使上述两个问题所得到的结论是完全等价的。则问题（2）中的箱子的加速度的大小和方向应如何？

练习8 考虑不用发射到绕太阳运动的轨道上办法，要在太阳系建立一个质量为m的静止空间站。这个空间站有一个面向太阳的大反射面（反射系数为1），来自太阳的辐射功率L产生的辐射压力使空间站受到一个背离太阳的力，此力与质量为s的太阳对空间站的万有引力方向相反，大小相等，因而空间站处于平衡状态。忽略行星对该站的作用力，求：

（1）此空间站反射面的面积A。

（2）平衡条件和太阳与空间站之间的距离是否有关？

（3）设反射面是边长为d的正方形，空间站的质量为10千克，确定d之值。已知太阳的辐射功率是3.77?10瓦。太阳质量为1.99?10千克。

26306M 练习9 试求下列情况下，光子A与B的相对速度，

（1）A、B反向而行；（2）A、B相向而行；（3）A、B同向而行。

练习10 如图所示，有两把静止长度相同的米尺，A1A2和B1B2，尺长方向均与惯性系 S的x轴平行，两尺相对S系沿尺长方向以相同的速率v匀速相 向而行。试指出 下列各种情况下两尺各端相重合的时间次序。 （1）与A1A2尺固连的参照系上测量；（2）在与B1B2尺固连的参照系上测量；（3）在S系上测量。

''''图（7） ' 练习11 有惯性系S和S，S相对于S以速率v沿x轴正向运动。t?t?0时，S 与S的相应坐标轴重合，有一固有长度为1m的棒静止在S系的x'?y'平面上，在S系上 测得与x轴正向夹角为?。在S系上测量时，（1）棒与x轴正向夹角为多少？(2)棒的长度 为多少？

''' 练习12 一原子核相对于实验室以0.6 c运动，在运动方向上向前发射一电子，电子

相对于核得速率为0.8c，当实验室中测量时，电子速率？电子质量？电子动能？(4)电子的 动量大小？

图（8）

练习13 1．设想光子能量为E的单色光垂直入射到质量为M、以速度V沿光入射方向