这时有关系L1?L21?（)，故可知此时火车速度
vc2v?c1?（L12)； L2（2）对K'系而言，隧道以v向火车开来，隧道缩短了，K'系中的观测者认为隧道长度
2v2L1 L'1?L11?（)?，而火车长L2，两者差距?L?L2?L'1，那么先后相遇所历时间应为：
cL22L2?L2?L1?t???22vcL2?L12L22?L1 C例2 把电子的速度由0.9c增加到0.99c. 所需能量为多少?这时电子的质量增加多少?
11解析 ?1???2.294222 1?v/c1?0.9 1???7.08882 21?0.99
Ek?mc2?m0c2?m0c2(??1)
?Ek?Ek2?Ek1?m0c2(?2??1)故
?311613
?(7.0888?2.294)?9.1?10?9?10?3.93?10J?30kg ?m?(?2??1)mo?4.37?10例3 在h0=6000m高层大气中产生一μ子，μ子以0. 998c的速率向地面飞来，静止的
μ子的平均寿命为2?10s，问在μ子衰变以前，能否到达地球表面？ 解析 地面上的观测者按经典理论计算，μ子走过的距离为
?6d1???t?0.998?3?108?2?10?6?598.8m
d1?h0，因此，按μ子的平均寿命，它似乎不可能到达地面。实际上μ子的速率?与光速
c可以比拟，必须考虑相对论效应。μ子相对地面运动，在地面上的观测者看来，它的平均寿命为?t地??t1?()c??22?10?61?0.9982?31.6?10?6s
地面上的观测者所计算的μ子可飞行的距离为
d2???t地?0.998?3?108?31.6?10?6?9461m d2?h0。因此，按μ子平均寿命，它能够到达地面。
例4 在地面上有一跑道长100 m，运动员从起点跑到终点，用时10 s，现从以速度0. 8c向前飞行的飞船中观测：
（1）跑道有多长？
（2）运动员跑过的距离和所用的时间为多少？ 解析 以地面参考系为S系，飞船参考系为S'系。
（1）跑道固定在S系中，原长l0?100m。由于S'系相对S系高速运动，因而在S'系中观测，跑道长度为l??l01?()?100?0.6?60m
?2c
（2）?x???x???t?t?，?t???c2?x 1?()21?()2cc将?x?100m，?t?10s和??0.8c代入以上两式，计算得
100?0.8?3?108?102.4?109?x??????0.4?1010m
0.60.6计算结果中的负号表示在S'系中观测，运动员是沿x'负方向后退。
??0.8?10810??10010(3?108)2?t?????16.6s
0.60.6例5（第19届复赛）在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子，沿x轴
正方向射向一个静止于坐标原点O的电子．在y轴方向探测到一个散射光子．已知电子的静止质量为m0，光速为c,入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的1／10．
1．试求电子运动速度的大小v,电子运动的方向与x轴的夹角?；电子运动到离原点距离为L0（作为已知量）的A点所经历的时间?t．
2．在电子以1中的速度v开始运动时，一观察者S?相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动(即S?相对于电子静止)，试求S?测出的OA的长度．
解析 （1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为
由此可解得 v?m0c21?(v2/c2)?1.10m0c2 （1）
0.21?0.417c?0.42c （2） 1.10h?h??入射光子和散射光子的动量分别为p?和p??，
cc方向如图所示。电子的动量为mv，m为运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可得
光子散射方向
m0vh? （3） cos??电子 22c1?(v/c)? 光子入射方向
A
?m0vh?光子入射方向 （4） sin??22c1?(v/c)图（2）
已知 h??h???0.10m0c2 （5） 由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得
??0.37m0c2/h （6） ???0.27m0c2/h （7） ??tan－1??27?arctan()?36.1? （8） ?37
L0?2.4L0/c （9） v（2）当观察者相对于S沿OA方向以速度v运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得
电子从O点运动到A所需时间为 ?t? L?L01?(v2/c2) （10） L?0.91L0 （11） 例6（第21届复赛）?子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命?0?2.0?10?6s．宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批?子，以v = 0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变．根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N(0), t时刻剩余的粒子数为N(t)，则有N?t??N?0?e?t?，式中?为相对该惯性系粒子的平均寿命．若能到达地面的?子数为原来的5％，试估算?子产生处相对于地面的高度h．不考虑重力和地磁场对?子运动的影响．
解析 因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命?0?2.0?10?6s 根据时间膨胀效应，在地球上观测到的?子平均寿命为?，
－
???01??vc?2
代入数据得 ? = 1.4×105s 相对地面，若?子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的?子数为
N?t??N?0?e?t?
根据题意有
对上式等号两边取e为底的对数得 代入数据得
N?t??e?t??5% N?0?
t???ln5 100t?4.19?10?5s
根据题意，可以把?子的运动看作匀速直线运动，有
h?vt
h?1.24?104m 代入数据得
例7（第22届复赛）封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出．车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示．某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点．在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（R >r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直．板的圆心O2 、S、、O1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上．由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况．不考虑光的衍射．试求：
1．车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻． 2．地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．
解析 1．相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v趋向光源S运动．由S发出的光经
v 小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横S l O r O1 R O2 xA 图（3）
截面积逐渐扩大．若距S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R的圆面，如图所示，
rR? lLRl可得L? (1)
r设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出．当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住．此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L．在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为 xA1??vc?
2r S l L R (2)
图（3） 故出现挡板完全遮住光束的时刻为 t?2xA1??vc??L (3)
v2x1??vc?Rl 由（1）、（3）式得 t?A ?
vrv2．相对于地面参考系，光源与车厢以速度v向挡板运动．光源与孔之间的距离缩短为
l'?l1??vc?
2而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为
Rl'Rlv2L'??1?2
rrc初始时，挡板离S的距离为xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为
xA?L'xARlv2t????1?2
A vvrvO c例8（第22届复赛）两辆汽车A与B，在t = 0时从十字路口O处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图所示．汽
B 车A持续地以固定的频率v0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率．已知声速为u，且当然有u > vA、vB． 解析 如图所示，t时刻汽车B位于B?t?处，距O点的距离为vBt．此
图（4） v B时传播到汽车B的笛声不是t时刻而是较早时刻t1由A车发出的．汽
车A发出此笛声时位于A?t1?处，距O点的距离为vAt1．此笛声由发出
点到接收点（t时刻B车所在点）所传播的路程为u(t–t1)，由几何关系可知
2(vBt)2??vAt1??[u(t?t1)]2 (1)
22222即(u2?v2 A)t1?2utt1?(u?vB)t?0
这是以t1为变量的一元二次方程，其解为
vA ?u2?u2(v2?v2)?v2v2?ABAB?222由于u?u?vt1??tA， 22????u?vA??但t1< t，所以上式中只能取减号
A(t1) ?A(t1) O A(t) vA t1?2222u2?u2(vA?vB)?vAvB2u2?vAt (2)
B(t) t?t1?22222u2(vA?vB)?vAvB?vA2u2?vAt (3) ?B(t) vB 图（5） 222令u2(v2A?vB)?vAvB?k (4)