（2）解法一 设所以切线
因为SQ和TQ交于Q点所以
和
所以ST方程：
；切线
(8分)
成立
(10分)
所以原点到ST距离，当即Q在y轴上时d有最大值
此时直线ST方程是 (11分)
所以
所以此时四边形QSMT的面积
说明：此题第二问解法不唯一，可酌情赋分．
(12分)
【注】只猜出“直线ST方程是”未说明理由的， 该问给2分
利用ＳＭＴＱ四点共圆的性质，写出以ＱＭ为直径的圆方程的得2分 两圆方程相减得到直线ＳＴ方程 得４分；以后步骤赋分参照解法一．
21.（本题满分12分）
已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx． （1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值． 解：21.（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1． 3分 （2）∵g（x）=lnx+
﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=
，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解， ∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，
只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．7分 （3）∵g（x）=lnx+
﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=
=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，
∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，
令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1， 10分
则h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，
，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，
﹣2ln2，故所求的最小值为
﹣2ln2． 12分
又∵b≥，∴（b﹣1）2≥
∴0＜t≤，h（t）≥h（）=
选做题 请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。 22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为M（2，
）对应的参数φ=
（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上点
．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴与曲线C2交于点D（
，
）．
上且经过极点的圆．射线
（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程； （2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+
）是曲线C1上的两点，求
+
的值．
解：22.（1）点M（2，）对应的参数φ=代入（a＞b＞0，φ为参数），可得，
解得：a=4，b=2．∴曲线C1的普通方程为=1．
代入得R=1．．
设圆C2的半径为R，则曲线C2的极坐标方程为ρ=2Rcosθ，将点D∴圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ． 5分 （2）曲线C1的极坐标方程为
=
+
，
将A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）代入可得：=+，=+
∴
+=+= 10分．
23．已知函数f(x)?|x?1|?|x|?a．
（1）若不等式f(x)?0的解集为空集，求实数a的取值范围； （2）若方程f(x)?x有三个不同的解，求实数a的取值范围． 解：23.（1）令
g(x)?x?1?x，则
f(x)?0?g(x)??a?g(x)min??a，
??1,x??1,?g(x)?|x?1|?|x|??2x?1,?1?x?0,作出函数g(x)的图象，由图可知，函数g(x)的最小值为
?1,x?0,?g(x)min??1，所以?a??1，即a?1，综上：实数a的取值范围为[1,??). 5分
（2）在同一坐标系内作出函数g(x)?|x?1|?|x|图象和y?x的图象如下图所示，由题意可知，把函数
y?g(x)的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y?x的图象始终有3个交点，从而
?1?a?0． 10分
高考模拟数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两个集合A?x|y?ln(?x2?x?2)，B??x|????2x?1??0?，则A?B= e?x?A．?-，2? B．?-1，-? C．?-1，e? D．?2,e?
22?1?????1??2．已知i是虚数单位，a，b∈R，且(a?i)i?b?2i，则a＋b＝ A．1
B．－1
C．－2
D．－3
3．在等比数列?an?中，a5?a11?3,a3?a13?4,则
a12? a2A．3 B．? C．3或
1311 D．?3或? 334．已知l、m是两条不同的直线，?是个平面，则下列命题正确的是 A．若l//?，m//?, 则l//m B．若l?m，m//?, 则l?? C．若l?m，m??,则l//? D．若l//?，m??,，则l?m 5．在
A．10 B．9 C．8 D．7
6．右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器度h随时间t变化的可能图象是 A．
B．
C．
D．
中水面的高
中，若2a2+an﹣5=0，则自然数n的值是