中难提分突破特训(六)
1．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，连接CG，EF，BG.
(1)求证：EF⊥平面BCG； (2)求三棱锥D－BCG的体积．
解 (1)证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°， ∴△ABC≌△DBC，
∴AC＝DC，∵G为AD的中点， ∴AD⊥CG，BG⊥AD，CG∩BG＝G， ∴AD⊥平面BCG，
∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF∥AD， ∴EF⊥平面BCG1.
(2)过E作EO⊥BC于点O，连接GE，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直， ∴OE⊥平面BCD，∵EG∥CD， ∴EG∥平面BCD，
∴G到平面BCD的距离即为OE，易得OE＝3， 2
1
∴V三棱锥D－BCG＝V三棱锥G－BCD＝×S△BCD×OE
31131＝××2×2×sin120°×＝. 3222
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且3(b＋c－a)＝4S.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，当b＋2c取得最大值时，求cosB. 解 (1)由已知3(b＋c－a)＝4S＝2bcsinA， 由余弦定理得23bccosA＝2bcsinA，所以tanA＝3， π因为A∈(0，π)，故A＝. 3
3bc(2)由正弦定理得＝＝，
πsinBsinCsin
3即b＝2sinB，c＝2sinC，
2
2
2
2
2
2
??π??因此b＋2c＝2sinB＋4sinC＝2?sinB＋2sin?B＋??
3????
＝4sinB＋23cosB＝27sin(B＋φ)，
3321?π?其中φ∈?0，?，tanφ＝，则sinφ＝＝，
2?27?7
ππ
故b＋2c≤27，当且仅当B＋φ＝，即B＝－φ时取等号，
22故此时cosB＝sinφ＝21
. 7
3．为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下(单位：厘米)：
男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170 女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172
(1)根据测量结果完成身高的茎叶图(单位：厘米)，并分别求出男、女生身高的平均值；
(2)请根据测量结果得到20名学生身高的中位数h(单位：厘米)，将男、女生身高不低于h和低于h的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？
人数 身高≥h 身高＜h
参照公式：K＝
2
男生 女生 a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) k0
(3)若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高，假设可以用测量结果的频率代替概率，现用分层抽样的方法从这10名男生中选出5人，再从这5名男生中任意选出2人，求恰有1人身高属于正常的概率．
解 (1)茎叶图为：
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
平均值是将所有数据加到一起，除以数据的个数得到的结果，根据这一公式将数据代入公式，得到平均身高：男生168.8，女生163.6.
(2)根据中位数的概念得到h＝165.
人数 身高≥h 身高＜h
男生 6 4 女生 5 5 K2＝≈0.202<2.706.
所以没有90%的把握认为男、女生身高有差异．
(3)由测量结果可知，身高属于偏矮的男生频率为0.4，身高属于正常的男生频率为0.4，身高属于偏高的男生频率为0.2，故用分层抽样的方法选出的5人中，身高偏矮的有2人，记为A，B，身高正常的有2人，记为c，d，身高偏高的有1人，记为E，则从这5人中任意选出2人，所有情况为AB，Ac，Ad，AE，Bc，Bd，BE，cd，cE，dE，共10种，恰有1人身高属3
于正常的有Ac，Ad，Bc，Bd，cE，dE，共6种，故恰有1人身高属于正常的概率为. 5
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2
?x＝－2＋t，?2
C：ρsinθ＝2acosθ(a>0)，直线l：?
2y＝t??2
2
20
99
(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；
(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．
解 (1)由ρsinθ＝2acosθ(a>0)两边同乘以ρ得， 2
?x＝－2＋t，?2
曲线C：y＝2ax，由直线l：?
2y＝t??2
2
2
(t为参数)，消去t，得直线l：x－y＋2＝0.