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第二章习题解答
2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为???4?0U0d?43x?23，式中阴
9极板位于x?0，阳极板位于x?d，极间电压为U0。如果U0?40V、d?1cm、横截面S?10cm2，求：（1）x?0和x?d区域内的总电荷量Q；（2）x?d2和x?d区域内的总电荷量Q?。
44 解 （1） Q???d???(??0U0d?43x?2)3Sdx???0U0S??4.72?10?11C 93d?02（） 414?11?43?23?(1?)?US??0.97?10C (??Udx)Sdx?0000?33d92??d2 2.2 一个体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解 质子的质量m?1.7?10?27kg、电量q?1.6?10?19C。由
12mv?qU 2 0得 v?2mqU?1.37ms ?61 Am2 故 J??v?0.31 8I?J?(d2)2?10?6 A
2.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度?绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为
v???r?e??rsin?
球内的电荷体密度为
Q ??34?a3Q3Q?故 J??v?e??rsin??ersin? ?334?a34?a2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度?绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为
v???r?e??asin?
球面的上电荷面密度为
Q ??4?a2Q? 故 JS??v?e?Q?asin??es?in?24?a4?a2.5 两点电荷q1?8C位于z轴上z?4处，q2??4C位于y轴上y?4处，求(4,0,0)处的电场强度。
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解 电荷q1在(4,0,处产生的电场为0qr?r1?2ex4?ez4E1?1?
4??0r?r1?3??0(42)3电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为
E2?q2r?r2?1ex4?ey4 ??4??0r?r2?3??0(42)3ex?ey?ez2故(4,0,0)处的电场为
322??02.6 一个半圆环上均匀分布线电荷?l，求垂直于圆平面的轴线上z?a处的
a，如题2.6 图所示。 a,，设半圆环的半径也为)电场强度E(0,0解 半圆环上的电荷元?ldl???lad??在轴线上z?a处的电场强度为
?ar?r?dE?ld??? 34??0(2a) ?lez?(excos???eysin??)d??
a82??0 在半圆环上对上式积分，得到轴线上z?a处的电场强度
为
E(0,0,a)??dE? ?2 ?l(ez??ex2)?l ???[e?(ecos??esin?)]d?? zxy?82??a82??0a??20E?E1?E2?
2.7 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为?l1、
?l2和?l3地线电荷构成等边三角形。设?l1?2?l2?2?l3，计算三角形中心处的电场强度。
解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为
题 2.6
则
d?L3 tan30?L26?l13?l1 (cos30?cos150)?ey4??0d2??0L3?l23?l1 E??(ecos30?esin30)??(e3?e)2xyxy 2??0L8??0L3?l33?l1 E3?(excos30?eysin30)?(ex3?ey)2??0L8??0L
题27图
故等边三角形中心处的电场强度为
E?E1?E2?E3?
3?l13?l13?l13?l1 ey?(ex3?ey)?(ex3?ey)?ey2??0L8??0L8??0L4??0L2.8 －点电荷?q位于(?a,0,0)处，另－点电荷?2q位于(a,0,0)处，空间有没有电场强度E?0的点？
E1?ey .
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解 电荷?q在(x,y,z处产生的电场为)4??0[(x?a)?y?z]电荷?2q在(x,y,z)处产生的电场为
2qex(x?a)?eyy?ezz
E2??4??0[(x?a)2?y2?z2]32(x,y,z)处的电场则为E?E1?E2。令E?0，则有
ex(x?a)?eyy?ezz2[ex(x?a)?eyy?ezz] ?2223222232[(x?a)?y?z][(x?a)?y?z]由上式两端对应分量相等，可得到
(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32?2(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32
①
y[(x?a)2?y2?z2]32?2y[(x?a)2?y2?z2]32
②
z[(x?a)2?y2?z2]32?2z[(x?a)2?y2?z2]32
③
当y?0或z?0时，将式②或式③代入式①，得a?0。所以，当y?0或z?0时无解；
当y?0且z?0时，由式①，有
(x?a)(x?a)3?2(x?a)(x?a)3
解得
x?(?3?22)a
E1?qex(x?a)?eyy?ezz22232
但x??3a?22a不合题意，故仅在(?3a?22a,0,0)处电场强度E?0。
2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为?。证明：垂直于平面的z轴上z?z0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。
解 半径为r、电荷线密度为?l??dr的带电细圆环在z轴上z?z0处的电场强度为
r?z0drdE?ez232 2?0(r2?z0)故整个导电带电面在z轴上z?z0处的电场强度为
r?z0dr?z01E?ez???ez223222122?(r?z)2?(r?z0000)0???ez0? 2?0 而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上z?z0处的电场强度
为
3z0E??ez?0r?z0dr?z01??ez2322122?0(r2?z0)2?0(r2?z0)3z0?ez0?1?E 4?02 题2.10图
2.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B。
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解 球面上的电荷面密度为
Q ??4?a2当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r?era点处的电流面密度为
JS??v??ω?r??ez??era?
?Qsin? 4?a将球面划分为无数个宽度为dl?ad?的细圆环，则球面上任一个宽度为
?Q ?si?n?ddl?ad?细圆环的电流为 dI?JSdl4?细圆环的半径为b?asin?，圆环平面到球心的距离d?acos?，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为
e???asin??e??0?Qa2sin3?d??0?Qsin3?d?
dB?ez?ez?ez2(b2?d2)328?(a2sin2??a2cos2?)328?a3???Qsin??0?Q 0故整个球面电流在球心处产生的磁场为 B?ed??ez?0z8?a6?a2.11 两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题2.11图所示。电流I以相同的方向流过这两个线圈。
（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度B?exBx； （2）证明：在中点处dBxdx等于零；
（3）求出b与d之间的关系，使中点处d2Bxdx2也等于零。
解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 B?ez得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 B?ex2?0NIb2232?0b2dI?0Ia22(a?z)2232
(b?d4)（2）两线圈的电流在其轴线上x(0?x?d)处的磁感应强度为
??0NIb2??0NIb2 B?ex?2?2322232?2[b?(d?x)]??2(b?x)22dB3?NIbx3?NIb(d?x) x00所以 ???dx2(b2?x2)522[b2?(d?x)2]52故在中点x?d2处，有
图 题2.11
22dB3?NIbd23?NIbd2x0 ??20??0 2522252dx2[b?d4]2[b?d4]2222dB15?NIbx3?NIbx00（3） ??? 222722252dx2(b?x)2(b?x)
15?0NIb2(d?x)23?0NIb2 ?227222522[b?(d?x)]2[b?(d?x)]x?d22dBx 令
dx225d41 ，有??0 ?022722252[b?d4][b?d4]青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net