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????z??z????z??z?r????zArr??r(r??r)drd?????zArrrdrd??
?(rAr)1?(rAr)?r???z??? ?rr?r[(r??r)Ar(r??r,?,z)?rAr(r,?,z)]???z?同理
r??rz??zr??rz??z?????rzr??r????A?????drdz???rzA??drdz?
?A????r???z??A?r????
[A?(r,????,z)?A?(r,?,z)]?r?z?r??r?????z????rAzz??zrdrd?????rAzzrdrd??
[Az(r,?,z??z)?Az(r,?,z)]r?r???z??Az?Ar?r???z?z?? ?z?z因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为
1?(rAr)?A??AzΨ?Ψr?Ψ??Ψz?[??]??
r?rr???z?1?(rAr)?A??Az??? 故得到圆柱坐标下的散度表达式 ??A?lim???0??r?rr???z222xyz1.22 方程u???给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向222abc矢量。
解 由于 ?u?ex2x?ey2y?ez2z
a2b2c2 ?u?2(x)2?(y)2?(z)2
a2b2c2故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 ?uxyzxyz?(ex2?ey2?ez2)(2)2?(2)2?(2)2 abcabc?u1.23 现有三个矢量A、B、C为
A?ersin?cos??e?cos?cos??e?sin?
n?B?erz2sin??e?z2cos??ez2rzsin? C?ex(3y2?2x)?eyx2?ez2z
（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？
（2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中
?A?1?21?1?A?(rA)?(sin?A)??r?2r?rrsin???rsin???
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1?21?1?(rsin?cos?)?(sin?cos?cos?)?(?sin?)? 2r?rrsin???rsin???2cos?2sin?cos?cos?sin?cos?????0 rrsin?rrsin?er1???A?2rsin??rArre????rA?rsin?e??? ??rsin?A?er1r2sin?re?rsin?e?????0
?r????sin?cos?rcos?cos??rsin?sin?故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；
在圆柱坐标系中
1?1?B??Bz
(rBr)???r?rr???z1?1?2? (rz2sin?)?(zcos?)?(2rzsin?)?
r?rr???z?B=z2sin?z2sin???2rsin??2rsin? rrerre?ezerre?ez??0 ?z2rzsin?1???1??r?r???zr?rBrrB?Bzz2sin?故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；
直角在坐标系中
??B??C=???rz2cos??Cx?Cy?Cz
????x?y?z???(3y2?2x)?(x2)?(2z)?0?x?y?zexeyez
????ez(2x?6y)
?x?y?z3y2?2xx22z故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为 ?A?0，??A?0；
?B=2rsin?，??B?0； ?C?0，??C?ez(2x?6y)
1.24 利用直角坐标，证明
??C?青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
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?(fA)?f?A?A?f
解 在直角坐标中
f?A?A?f?f(?Ax?Ay?Az?f?f?f??)?(Ax?Ay?Az)? ?x?y?z?x?y?z?Ay?A?A?f?f?f(fx?Ax)?(f?Ay)?(fz?Az)? ?x?x?y?y?z?z???(fAx)?(fAy)?(fAz)??(fA) ?x?y?z1.25 证明
?(A?H)?H??A?A??H
解 根据?算子的微分运算性质，有
?(A?H)??A(A?H)??H(A?H)
式中?A表示只对矢量A作微分运算，?H表示只对矢量H作微分运算。
由a(b?c)?c(a?b)，可得
?A(A?H)?H(?A?A)?H(??A) 同理 ?H(A?H)??A?(H?H?)?A??(H )故有 ?(A?H)?H??A?A??H
1.26 利用直角坐标，证明
??(fG)?f??G??f?G
解 在直角坐标中
?Gy?Gx?Gx?Gz?Gz?Gyf??G?f[ex(?)?ey(?)?ez(?)]
?y?z?z?x?x?y?f?f?f?f?f?f?Gy)?ey(Gx?Gz)?ez(Gy?Gx)] ?f?G?[ex(Gz?y?z?z?x?x?y所以
?Gy?Gz?f?f?f)?(Gy?f)]? ?y?y?z?z?Gx?Gz?f?fey[(Gx?f)?(Gz?f)]?
?z?z?x?x?Gy?Gx?f?fez[(Gy?f)?(Gx?f)]?
?x?x?y?y?(fGz)?(fGy)?(fGx)?(fGz) ex[?]?ey[?]??y?z?z?x?(fGy)?(fGx)ez[?]???(fG)
?x?y1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明??(?u)?0及?(??A)?0，试证明之。
解 （1）对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有
f??G??f?G?ex[(Gz?(???u)dS???udl??由于曲面S是任意的，故有
??(?u)?0
SCC?udl??du?0 ?lCn2C2 C1S1青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
S2 n1
题1.27图
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（2）对于任意闭合曲面S为边界的体积?，由散度定理有
?(??A)d???(??A)dS??(??A)dS??(??A)dS ??SS1S2其中S1和S2如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有
S1?(??A)dS??Adl， ?(??A)dS??Adl
C1S2C2由题1.27图可知C1和C2是方向相反的同一回路，则有
A)d?所以得到 ??(???C1C2C2C2C1?Adl???Adl
C2??Adl??Adl??Adl???Ad l?0 由于体积?是任意的，故有 ?(??A)?0
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