三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在△ABC中，已知a2?c2?b2?mac，其中m?R. （Ⅰ）判断m能否等于3，并说明理由； （Ⅱ）若m??1，b?27，c?4，求sinA．

16．（本小题满分14分）

如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直， 1AF//DE，DE?AD，AD?BE，AF?AD?DE?1，AB?2.

2

（Ⅰ）求证：BF//平面CDE； （Ⅱ）求二面角B?EF?D的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得 平面CDQ?平面BEF？若存在，求 出

BQ的值，若不存在，说明理由． BEE

F D A

B C

17．（本小题满分13分）

为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.

活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.

甲 乙 8 6 2 1 0 1 2 4 4 7 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a 1 2 0 （Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a的所有可能取值；

（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设a?3，现从所有

“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望.

（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为s02. 在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读

量为10，则记新甲组阅读量的方差为s12；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量

22的方差为s2，试比较s02，s12，s2的大小.（结论不要求证明）

18．（本小题满分13分）

设函数f(x)?mex?x2?3，其中m?R．

（Ⅰ）当f(x)为偶函数时，求函数h(x)?xf(x)的极值；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间[?2,4]上有两个零点，求m的取值范围．

19．（本小题满分14分）

x2y2已知椭圆W:??1的长轴长为4，左、右顶点分别为A,B，经过点P(n,0)的直

4mm线与椭圆W相交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）.

（Ⅰ）当n?0，且直线CD?x轴时， 求四边形ACBD的面积；

（Ⅱ）设n?1，直线CB与直线x?4相交于点M，求证：A,D,M三点共线.

20．（本小题满分13分）

如图，设A是由n?n(n≥2)个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i,j?1,2,示位于第i行第j列的实数，且aij?{1,?1}.

,n)表

a11 a21 a12 a1n a22 a2n an1 定义pst?as1at1?as2at2?an2 ann ?asnatn(s,t?1,2,,n)为第s行与第t行的积. 若对于任意

s,t（s1t），都有pst?0，则称数表A为完美数表.

（Ⅰ）当n?2时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；

（Ⅲ）设A为n行n列的完美数表，且对于任意的i?1,2,L,l和j?1,2,L,k，都有aij?1，

证明：kl≤n.

北京市西城区高三统一测试

数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．2n?1?1 210．3

11． π；a≥2 412．

313．答案不唯一，如??110，??20 14．32

注：第11题第一问3分，第二问2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当m?3时，由题可知 a2?c2?b2?3ac，

……………… 3分 由余弦定理b2?a2?c2?2accosB，

a2?c2?b23?． ……………… 4分 得cosB?2ac2这与cosB?[?1,1]矛盾，

所以m不可能等于3 . ……………… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），得 cosB?m12π. ……………… 7分 ??，所以B?223 因为b?27，c?4，a2?c2?b2??ac， 所以a2?16?28??4a，

解得a??6（舍）或a?2. ……………… 9分

在△ABC中，由正弦定理

ab?， ……………… 11分 sinAsinB 得sinA?

asinB2321???. ……………… 13分 b14272