优质参考文档
南京大学20KK年数学分析考研试题
一设f(x)为R1上的周期函数，且limf(x)?0，证明f恒为0。
x???二设定义在R2上的二元函数f(x,y)关于x，y的偏导数均恒为零，证明f为常值函数。
1三设fn(x)(n?1,2,...)为Rn上的一致连续函数，且limfn(x)?f(x)，?x?R，
n??问：f(x)是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。 四是否存在[0,1]区间上的数列{xn}，使得该数列的极限点（即聚点）集为[0,1]，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。 五设f(x)为[0,??)上的非负连续函数，且
???0f(x)dx???，问f(x)是否在[0,??)上有
界?若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。 六计算由函数f1(x)?七计算积分八计算积分
?(2xe??R2212x和f2(x)??x2?1的图像在平面R2上所围成区域的面积。 2?2xy?y2)dxdy。
???xyzdxdydz，其中?为如下区域：
???{(x,y,z)?R3:x?0,y?0,z?0,x?y?z?a}，
a为正常数。
九设an?0(n?1,2,...)，Sn?223?ak，证明：级数?k?1nan是收敛的。 2n?1Sn?十方程x?2y?3z?2xy?z?7在(1,?2,1)附近决定了隐函数z?z(x,y)，求
?2z(1?,2)的值。 ?x?y333222十一求函数f(x,y,z)?x?y?z在约束条件x?y?z?2，x?y?z?12下的极值，
并判断极值的类型。
112十二设f?C[0,1]，且f(0)?f(1)?0，证明：?[f(x)]dx??[f?(x)]dx。
040十三设f(x)为[0,?]上的连续函数，且对任意正整数n?1，均有
112??0f(x)cosnxdx?0，证明：f为常值函数。
南京大学20KK年数学分析考研试题解答
一证明设f(x)的周期为T，T?0，则有f(x?nT)?f(x)，由条件知，
f(x)?limf(x?nT)?0，
n??结论得证。 二证明因为
?f?f?0，?0，
?y?x?f?f22，在R上连续，对任意(x,y)?R，有 ?x?y?f?ff(x,y)?f(0,0)?(?x,?y)?x?(?x,?y)?y?0，
?x?y所以f(x,y)?f(0,0)，即f(x,y)为常值函数。 三解f(x)未必为连续函数。
优质参考文档
优质参考文档
反例：fn(x)?xnn1?x，
fn(x)在R1上连续，又limfn(x)?1，所以fn(x)在(??,??)上一致连续，
x???0,x?1??1limfn(x)?f(x)??,x?1， x???2??1,x?1显然f(x)在(??,??)上不连续。
四解（1）存在。取[0,1]中的有理数形成的点集I?{rn}，则有I??[0,1]。
（2）不存在。
假若存在I?{xn}，使得I??(0,1)，由于I?是闭集，而(0,1)为开集，矛盾，所以这样的点列不存在。
五未必有f(x)在[0,??)上有界，未必有limf(x)?0。
x???六解显然两曲线的交点横坐标为x1??2，x2?32， 3S???2?232?3231[(?x2?1)?x2]dx
203(?x2?1)dx 21?2(?x3?x)223 0122?2[?()3?]
233?46。 9七解显然这个二重广义积分是收敛的。 由
?????e?xdx??，
22?(2xe??R2???2xy?y2)dxdy
22??dx?e?xe?(y?x)dy
????????e?xdx?e?(y?x)dy
??????2??2???????e?xdx
2???? ??。
八解???xyzdxdydz
???dx?0aa?x0dy?a?x?y0xyzdz
优质参考文档
优质参考文档
十解
2x?9z2zx?2y?zx?0，
4?9z2zy?2x?zy?0， 18zzyzx?9z2zxy?2?zxy?0。
十一解L?(x?y?z)??(x?y?z?2)??(x?y?z?12)
333222?L?3x2???2?x?0， ?x?L?3y2???2?y?0， ?y?L?3z2???2?z?0， ?z3(x2?y2?z2)?3??2?(x?y?z)?0， 3?12?3??2??2?0， 36?3??4??0。
十二证明f(x)?f(0)?x?x0f?(t)dt??f?(t)dt，
0xf(x)??f?(t)dt?x(?f?(t)dt)，
0012x212f(x)?x?于是
2x0f?(t)dt?x?f?(t)dt，
0212?12011212f(x)dx?()?f?(x)dx，
22021xf(x)?f(1)??1xf?(t)dt???f?(t)dt，
x1f(x)??f?(t)dt?(1?x)(?f?(t)dt)，
x121212f(x)?(1?x)?f?(t)dt，
0212?11211122f?(x)dx?()2?f?(x)dx，
220故有
?10f(x)dx??f(x)dx??1f(x)dx?22120212112?f(x)dx。 ?04十三证明作函数F(x)，F(x)是周期为2?的偶函数， 当x?(0,?)时，F(x)?f(x)，则F(x)在(??,0)(0,?)上连续，在[??,?]可积。
an?a0?1?2??F(x)cosnxdx?????2?0F(x)cosnxdx?0，(n?1,2,...)
??1?0f(x)dx，
bn????F(x)sinnxdx?0，
??a0???(ancosnx?bnsinnx)F(x)， 2n?1a0NaSN(x)???(ancosnx?bnsinnx)?0，
2n?12优质参考文档
优质参考文档
{SN(x)}在L2[??,?]中收敛于F(x)，
N????lim????F(x)?SN(x)dx?0，
22????0aF(x)?0dx?0，
2af(x)?0dx?0，
222a由f(x)在[0,?]上连续，知f(x)?0?0，
2a即得f(x)?0，f(x)在[0,?]上为常值函数。
2南京大学20KK年数学分析考研试题
1开区间(0,1)内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列，请说明理由。 2若级数
?an?1?n收敛，则是否有
nnn?an?1?2n收敛，是请证明；否请举反例。
3设a,b?0，求lima?b。
n??11?)。
x?0x2xsinx5若函数f(x)在[0,1]上可导，则f?(x)是否一定有界，是请证明；否请举反例。
6函数f:R?R连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点。 7函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，f(0)?0，f(1)?1，f??(x)?0， 求证：f(x)?x，x?[0,1]。
2
8函数f(x,y)是一个C函数，z0?(x0,y0)，计算
1?2limh[f(x,y)dxdy?f(x0,y0)]。 h?0??h2B(??z0,h)4求lim(9计算
??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是八分之一球面
?{(x,y,z):x,y,z?0,x2?y2?z2?R2}，
方向朝外。
10、已知f(x)是[??,?]上有界变差函数，求证：an,bn?O()， 其中an,bn是f(x)的傅里叶系数。
1n南京大学20KK年数学分析考研试题解答
1解尽管(0,1)中的有理数的个数是可数的，但(0,1)中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列，理由如下：
（1）由于(0,1)中无最小的有理数，也无最大的有理数；
（2）用反证法，假若(0,1)中的有理数按由小到大的顺序排成了一列
r1?r2?r3?...，
(r1,r2)中应没有有理数了，而(r1,r2)中仍有有理数
2解由级数
r1?r2，矛盾。 2?an?1?n收敛，未必退出
?an?1?2n收敛。
优质参考文档