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最新北京市各区初三数学二模

代数综合题汇总

西城27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y1?ax2?4ax?4的顶点在x轴上，直线l：

y2??x?5与x轴交于点A．

（1）求抛物线C1：y1?ax2?4ax?4的表达式及其顶点坐标；

（2）点B是线段OA上的一个动点，且点B的坐标为（t，0）．过点B作直线BD⊥x轴

交直线l于点D，交抛物线C2：y3?ax2?4ax?4?t于点E．设点D的纵坐标为m，点E的纵坐标为n，求证：m?n；

（3）在（2）的条件下，若抛物线C2：y3?ax2?4ax?4?t与线段BD有公共点，

结合函数的图象，求t的取值范围．

西城27．（1）解：∵抛物线C1：y1?ax2?4ax?4， ∴它的对称轴为直线x??∵抛物线C1的顶点在

x

?4a ?2．

2a轴上，∴它的顶点为（2，

0）．……………………………………………………1分

∴当x?2时，y??4a?4?0．∴a??1．

∴抛物线C1的表达式为y1??x2?4x?4．………………………………2分

（2）证明：∵点B的坐标为（t，0），且直线BD⊥x轴交直线l：y2??x?5于点D，

∴点D的坐标为（t，?t?5）．……………………………………………3分

∵直线BD交抛物线C2：y3??x2?4x?4?t于点E，

∴点E的坐标为（t，?t2?5t?4）．……………………………………4分

∵m?n

=(?t?5)?(?t2?5t?4)

?t2?6t?9 ?(t?3)2?0，

∴m?n．……………………………………………………………………5分

（3）解：∵抛物线C2：y3??x2?4x?4?t与线段BD有公共点，

∴点E应在线段BD上．

∵由（2）可知，点D要么与点E重合，要么在点E的上方，

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∴只需n?0， 即?t2?5t?4?0． ∵当?t2?5t?4?0时， 解得t?1或t?4．

∴结合函数y??t2?5t?4的图象可知，符合题意的t的取值范围是1?t?4．

2海淀27.已知：点P(m,n)为抛物线y?ax?4ax?b（a?0）上一动点．

（1） P1（1，n1），P2（3，n2）为P点运动所经过的两个位置，判断n1，n2的大小，

并说明理由；

（2） 当1?m?4时，n的取值范围是1?n?4，求抛物线的解析式. 西城 解：（1）n1?n2． ……………… 1 分

理由如下：

由题意可得抛物线的对称轴为x?2．

∵P1(1，n1)，P2（3，n2）在抛物线y?ax2?4ax?b上， ∴n1?n2．………………3分 （2）当a?0时，

抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4），

∴抛物线的解析式为y?当a?0时，

抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1），

32x?3x?4．………………5分 432x?3x?1． 433综上所述，抛物线的解析式为y?x2?3x?4或y??x2?3x?1．…………7 分

44∴抛物线的解析式为y??

房山27.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点P（-1,0），C

?2-1，1，D（0，-3），A，B在x轴上，且P为AB中点，

?y54S?CAP?1.

（1）求经过A、D、B三点的抛物线的表达式．

–5–4–3–2321–1–2–3–4–5o12345x&知识就是力量&

（2）把抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到一个新的图象G，点Q在此新图象G上，且S?APQ?S?APC，求点Q坐标．

（3）若一个动点M自点N（0,-1）出发，先到达x轴上某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点D，求使点M运动的总路程最短的点E、点F的坐标．

房山27.解：(1)∵S?CAP?1，C

?2?1,1，

?y54321–5–4–3–21AP?1?12∴,

∴AP=2，

∵P为AB中点，P（-1，0）， ∴A（-3,0），B（1,0）； -----------1分

∴过A、B、D三点的抛物线的表达式为：

–1–2–3–4–5o12345xy?x2?2x?3----------------------2分

22(2)抛物线y?x?2x?3沿x轴翻折所得的新抛物线关系式为y??x?2x?3，

∵

S?APQ?S?APC?1,

∴点Q到x轴的距离为1，且Q点在图象G上（27题图1）

∴点Q的纵坐标为1 ∴

?x2?2x?3?1或x2?2x?3?1.----------------------------------3分

-----4分

解得：x1??1?3，x2??1?3，x3??1?5,x4??1?5∴所求Q点的坐标为：

Q1(?1?3,1)，Q2(?1?3,1)，Q3(?1?5,1)，Q4(?1?5,1)----5分

y5432Q4Q21–1–2–3–4–5Q1Q13

–5–4–3–2–1APoC2345x

y54321N'E–5–4–3–2–1FD'–1N–2–3–4–5o12345xD&知识就是力量&

27题图2

27题图1 (3)如图（27题图2）

∵N（0，-1）,∴点N关于x轴对称点N′（0，1）， ∵点D(0,-3)，∴点D关于对称轴的对称点D′（-2，-3）， ∴直线N′D′的关系-----------------------------------6分

式为y=2x+1,

1,0∴E（-2）

当x=-1时，y=-1，∴F（-1,-1） ----------------------------------7分

直线与抛物线交点：

2朝阳27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??2x?(m?9)x?6的对称轴是x?2．

（1）求抛物线表达式和顶点坐标；

（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；

2（3）抛物线y??2x?(m?9)x?6与y轴交于点C，

点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y?2x?2向下平移b（b>0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围_________．

朝阳27．解：（1）∵抛物线y??2x??m?9?x?6的对称轴是x?2，

2 ∴?m?9?2．

2?(?2)∴m??1． ……………………………………………………………1分

2∴抛物线的表达式为y??2x?8x?6．…………………………………2分 2∴y??2(x?2)?2．

∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分 （2）由题意得，平移后抛物线表达式为

y??2?x?3??2……………………4分

∵?2?x?2???2?x?3?，

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