??n，n为奇数，
综上所述，an＝?
?n－1，n为偶数?
(n∈N)．
*
2．在数列{an}中，a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an(n≥1)，则an＝________. 答案
6 3n－1
＋1
解析 ∵(3n＋2)an3n－1－13
·
3n－1＋236
. 3n－1
＝(3n－1)an，∴an＋1
＝
3n－1
an，∴an＝3n＋2
n－2－13×2－13－13n－43n－752
·…···a1＝××…×××3＝
n－2＋23×2＋23＋23n－13n－485
3．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·an＋1－nan＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.
1
答案
22
n解析 因为(n＋1)an＋1－nan＋an＋1·an＝0， 所以(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0. 又因为an>0，所以an＋1＋an>0， 所以(n＋1)an＋1－nan＝0， 即
22
an＋1n*
＝，n∈N. ann＋1
a21a32a43ann－1所以＝，＝，＝，…，＝，
a12a23a34an－1n以上各式相乘得
an123n－11＝···…·＝. a1234nn1又a1＝1，所以an＝.
n题型 四 数列的性质及应用
1．已知an＝n＋0.99
，那么数列{an}是( )
n－0.99
B．递增数列 D．摆动数列
A．递减数列 C．常数列 答案 A 解析 an＝
n＋0.99n－0.99＋1.981.98
＝＝1＋，
n－0.99n－0.99n－0.99
1.98
在(0.99，＋∞)上是减函数，
x－0.99
因为函数y＝1＋
所以数列{an}是递减数列．
9
?6?n2．(2018·大庆模拟)已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·??，则数列{an}的项取最
?7?
大值时，n＝________.
答案 4或5
?6?n＋1?6?n解析 因为an＋1－an＝(n＋3)??－(n＋2)??
?7??7??6?n?6n＋3－
＝???7?7??
?6?4－n. n＋2??＝??n·
??7?
7
当n<4时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝4时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>4时，an＋1－an<0，即an＋1 nnnn a1＝，则数列的第2019项为________． 3 5 2答案 5 31 解析 ∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝. 5524 ∴a3＝2a2＝.∴a4＝2a3＝. 55 31 ∴a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，…. 552 ∴该数列的周期为4.∴a2019＝a3＝. 5 1．判断数列单调性的两种方法 (1)作差比较法：an＋1－an>0?数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0?数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0?数列{an}是常数列． (2)作商比较法 ①当an>0时，an＋1an＋1an＋1 >1?数列{an}是单调递增数列；<1?数列{an}是单调递减数列；anananan＋1an＋1an＋1 >1?数列{an}是单调递减数列；<1?数列{an}是单调递增数列；ananan＝1?数列{an}是常数列． ②当an<0时，＝1?数列{an}是常数列． 2．求数列最大项或最小项的方法 10 ??an－1≤an， (1)可以利用不等式组? ?an≥an＋1???an－1≥an， (2)利用不等式组? (n≥2)找到数列的最大项； (n≥2)找到数列的最小项． ?? an≤an＋1 1．若数列{aan－1n}满足a1＝2，a2＝3，an＝a(n≥3且n∈N* )，则a2019＝( n－2 A.32 B．2 C.12 2 D.3 答案 A 解析 因为aan－11＝2，a2＝3，an＝a(n≥3且n∈N* )， n－2 31 所以aa2a＝3，aa321a421 3＝4＝＝＝，a5＝a＝＝， 12a232333 212a＝a5a＝3＝2，aa63a72 67＝a＝＝2＝a1，a8＝＝＝3＝a2， 41351a62 233所以{a＝6，所以a3 n}的周期T2019＝a6×336＋3＝a3＝2. 2．已知数列{an}的通项为ann＝n2 ＋58 ，则数列{an}的最大项的值为( A. 1 258 B.7107 C.4 61 不存在 答案 C 解析 an1 n＝ n2 ＋58 ＝， n＋ 58n函数y＝x＋58 x在(0，58)上单调递减，在(58，＋∞)上单调递增．且7<58<8. 当n＝7时，n＋58582 n＝7＋7＝157， 当n＝8时，n＋585812 n＝8＋8＝154<157， 所以n＋581 n的最小值为154 . ) ) 11 4 所以n＝8时，数列{an}的最大项的值为. 61 12