高考数学一轮复习第5章数列：

第五章 数列

第1讲 数列的概念与简单表示法

[考纲解读] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 2.掌握数列求通项的几种常用方法：利用Sn与an的关系求通项；利用递推关系求通项．(重点、难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测2020年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：①由Sn求an；②由递推关系求an；③根据an＝f(n)求最值．题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型.

1．数列的有关概念

2．数列的分类

1

3．数列{an}的an与Sn的关系

(1)数列{an}的前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an.

特别提醒：若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示．

1．概念辨析

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( )

(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对?n∈N，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√

2．小题热身

(1)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是( ) A．21 B．33 C．152 D．153 答案 C

解析 代n值进行验证，n＝1时，A满足；n＝2时，B满足；n＝12时，D满足．故选C.

(2)设数列{an}的前n项和Sn＝n，则a8的值为( ) A．15 B．16 C．49 D．64

2

2

*

答案 A

解析 a8＝S8－S7＝8－7＝15. (3)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋3582A. B. C. D. 2353答案 D

1－111解析 a2＝1＋＝1＋1＝2，a3＝1＋＝1－＝，

a1a222

－1

n2

2

an－1

(n≥2)，则a5等于( )

a4＝1＋＝1＋2＝3，a5＝1＋＝1－＝. a3a433

1111

(4)数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________.

1×22×33×44×5－1*

答案 (n∈N)

nn＋1

解析 观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是常数1的数－1*

列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式an＝(n∈N)．

nn＋1

nn1－112

题型 一 知数列前几项求通项公式

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； 111

(3)1,0，，0，，0，，0，…；

357379

(4)，1，，，…. 21017

解 (1)符号问题可通过(－1)或(－1)

nn＋1

表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面

n的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)(6n－5)．

888

(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，

9991?8?

∴an＝?1－n?.

10?9?

10101010

(3)把数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…

123456781＋－1

周期性出现，因此数列的通项可表示为an＝

2n

n＋1

或an＝

?sinnπ??2???

n. 3

3579

(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分

251017子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n}，可得分母的通项公式为cn＝n＋1，

2n＋1

所以可得它的一个通项公式为an＝2.

n＋1

2

2

由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；

③各项的符号特征和绝对值特征；

④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明(4)．

⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)或(－1)

kk＋1

*

，k∈N处理．如举例说明(1)．

根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： 246810

(1)，，，，，…； 315356399115132961

(2)，，－，，－，，…； 2481632641925

(3)，2，，8，，…； 222(4)5,55,555,5555，….

解 (1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝

2n2n－1

2n＋1

. －115132961nn(2)数列可以改为－，，－，，－，，…，则分母为2，分子为2－3，所

2481632642－3

以数列的一个通项公式为an＝(－1)n.

2

nn1

(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，

2491625n，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝. 22222

555n(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10

999

4

2