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∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF
当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图） 在△ABF中，∠ABP=120°∴AF=3 ∴L=PA+PB+PC≤3
（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G 则△ADG是正三角形 ∴∠ADP=∠AGP，AG=DG ∵∠APD＞∠AGP ∴∠APD＞∠ADP
∴AD＞PA…………………………① 又BD+PD＞PB……………………② CG+PG＞PC……………………③
①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC ∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L ∵AB=AC=1∴L＜2
由（1）（2）可知：3≤L＜2．
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．A 解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得△BEF，连接PE， 则△BPE是正三角形
PD∴PE=PB
BEC∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EF
∴要使PA＋PB＋PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）
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GF.
此时AF= PA+PE+EF 过点F作FG⊥AB的延长线于G 则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°
1
∴GF= ，BG=
2223??1??22∴AF=GF?AG=????=2?3 ?1????2??2?23∴PA＋PB＋PC的最小值是2?3
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
AD证明：将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ
P则△BPQ是等腰直角三角形， ∴PQ=2PB=2×2a=22a 又QC=AP=a
∴QP2+QC2=(22a)2+a2=9a2=PC2 ∴△PQC是直角三角形 ∴∠BQC=135°
∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cos∠BQC
=PB2+PA2-2PB·PAcos135°
BQC =4a2+a2-2×2a×a×(-
2) 2解得BC=5?22a ∴正方形的边长为5?22a
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°，∠EBA＝20°，
..
A.
求∠BED的度数．
解：在AB上取一点F，使∠BCF=60°，CF交BE于G，连接EF、DG ∵∠ABC=80°，∠ABE=20°，∴∠EBC=60°，又∠BCG=60° ∴△BCG是正三角形 ∴BG=BC
∵∠ACB=80°，∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA 又∵∠A=∠A，AB=AC∴△ABE≌ACF ∴AE=AF 1
∴∠AFE=∠AEF= （180°-∠A）=80°
2
又∵∠ABC=80°=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60° ∴△EFG是等边三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60° ∵ACB=80°，∠DCA=30°∴∠BCD=50°
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50° ∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG 1
∠BGD=∠BDG= （180°-∠ABE）=80°
2∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40° 又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°
∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG，DE=DE∴△EFD≌△EGD 11
∴∠BED=∠FED= ∠FEG= ×60°=30°
22
5、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，若AC=6，BC=8，求线段PD的长。
⌒ =BD⌒ ∴AD=BD 解：∵∠ACD=∠BCD ∴AD∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB=90°
..
.
∴△ABD是等腰直角三角形
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8 ∴AB=10
∴AD=AB·cos∠DAB=10×
2=52 2又AE⊥CD，∠ACD=45°
∴△ACE是等腰直角三角形 ∴CE=AE=AC·cos∠CAE=6×
222=32 2（52）-（32）?32 ∴DE=42 在△ADE中，DE2=AD2-AE2 ∴DE2=
∴CD=CE+DE=32+42=72
∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P ∴△PDA∽△PCD ∴
PDPAAD525???? PCPDCD727∴PC=
757535PD，PA=PD ∵PC=PA+AC∴PD=PD+6 解得PD= 57574您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。
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