.

∵E、F、C、D四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF⊥AG，PQ⊥AG ∴EF∥PQ ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE ∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF

∴F、C、A、Q四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP

3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二）

证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG ∵C、D、B、E四点共圆 ∴∠B=∠D，∠E=∠C ∴△ABE∽△ADC ∴

在△AEP和△AFQ中

∠AFQ=∠AEP AF=AE

∠QAF=∠PAE ∴△AEP≌△AFQ ∴AP=AQ

ABBE2BGBG??? ADDC2FDDF∴△ABG∽△ADF

..

.

∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN， ∴OA⊥MN 又OG⊥BE， ∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O、A、Q、E四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP

又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ≌△OAP ∴AP=AQ

4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC 求证：BC=2OP（初二）

证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N ∵OF=OD，DN∥OP∥FL ∴PN=PL

∴OP是梯形DFLN的中位线 ∴DN+FL=2OP

..

.

∵ABFG是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL

又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL≌△ABM ∴FL=BM

同理△AMC≌△CND ∴CM=DN ∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP

经典题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二）

证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G ∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC又EG⊥AC ∴BD∥EG又DE∥AC ∴ODEG是平行四边形

..

.

又∠COD=90° ∴ODEG是矩形 ∴EG=OD=

111BD=AC=AE 222∴∠EAG=30° ∵AC=AE

∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF．（初二）

证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G ∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC，又EG⊥AC ∴BD∥EG又DE∥AC

∴∠CAE=∠CEA=

∴ODEG是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG是矩形 ∴EG = OD =

..

1∠GCE=15° 2在△AFC中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE

=180°-135°-30°=15°

∴∠F=∠CEA ∴AE=AF

111BD=AC=CE 222