因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R为所在边的中点， →2→→2→→2→

顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有PE＝PM，PF＝PN，PG＝PQ，

333→

PH＝PR.

因为MNQR为平行四边形，

→→→2→2→2→2→→

所以EG＝PG－PE＝PQ－PM＝MQ＝(MN＋MR)

33332→→2→→

＝(PN－PM)＋(PR－PM) 332?3→3→?2?3→3→?＝?PF－PE?＋?PH－PE?

2?3?22?3?2→→

＝EF＋EH.

所以由共面向量定理得E，F，G，H四点共面．

空间向量分解定理的应用

→

如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA＝a，

2→3

→

OB＝b，OC＝c，试用向量a、b、c表示向量GH.

→→

→→→

【解】 由题意知GH＝OH－OG，

→2→21→→1

因为OH＝OD＝×(OB＋OC)＝(b＋c)，

3323→

OG＝OA＋AG＝OA＋AD＝OA＋(OD－OA)

1→21→→11

＝OA＋×(OB＋OC)＝a＋(b＋c)， 33233111→1

所以GH＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a，

3333

→→→

2→

3→2→→

3

1→

即GH＝－a.

3

用基底表示向量时，

(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行运算．

(2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．

→

已知空间四边形OABC，点M、N、P分别是OA，BC，OC的中点，且OA＝a，

→

OB＝b，OC＝c，试用a、b、c表示MN，MP.

→→→解：MN＝MO＋ON 1→1→→＝－OA＋(OB＋OC)

221

＝(－a＋b＋c)， 2→

→→→

MP＝OP－OM＝(c－a)．

1．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a，b，若存在实数x，使a＝

→→

12

xb(b≠0)?a∥b，可以作为以后证明线线平行的依据，但必然在a(或b)上有一点不在b(或a)上．

2．线面平行与四点共面问题

(1)证明线面平行，据题设选择平面内两个不共线向量(一组基底)，该线所对应向量用平面内不共线向量(基向量)表示成a＝xb＋yc形式，又线不在平面内，即证线面平行．

→→→

(2)空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝xMA＋yMB.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．

3．空间任意三个不共面的向量a、b、c皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底的选择范围很广，但在具体的题目或几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．

向量共线与共面不具有传递性，如a∥b，b∥c，那么a∥c就不一定成立．因为当b＝0时，虽然a∥b，b∥c，但a不一定与c共线．

1．已知空间向量a，b不共线，p＝ka＋b，q＝a－kb，若p，q共线，则k的值是( ) A．0 C．－1

B．1 D．2

2

2

??k＝x解析：选C．若p，q共线，则存在唯一的实数x，使p＝xq，即ka＋b＝xa－xkb??2

?1＝－xk?

?k＝－1.

2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )

A．a C．a＋2b

B．b D．a＋2c

解析：选D．构成基底的条件是三个向量不共面，故只有D选项满足条件．

3．对于不共面的三个向量a，b，c，如果xa＋yb＋zc＝0，则x＝________，y＝________，

z＝________．

答案：0 0 0

4．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间基底的向量组有________．

→→→→→→

解析：如图所示，设a＝AB，b＝AA′，c＝AD，则x＝AB′，y＝AD′，z＝AC，a＋b＋c→＝AC′.

由图知，A，B′，C，D′四点不共面，故向量x，y，z也不共面．

同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．所以，可以作为空间基底的向量组有②③④. 答案：②③④

[A 基础达标]

1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( ) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量

D．既不共线也不共面向量

解析：选A．因为2a－b可用a，b线性表示，

所以2a－b与a，b一定共面．

→→→

2．设空间四点O，A，B，P满足OP＝mOA＋nOB，其中m＋n＝1，则( ) A．P∈AB B．P?AB

C．点P不一定在直线AB上 D．以上都不对

解析：选A．由共线向量定理知，P，A，B三点共线，故A正确．

→→→

3．在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，O′是上底面的中心，设AB＝a，AD＝b，AA′→

＝c，则AO′＝( )

111A．a＋b＋c 22211

B．a＋b＋c 221

C．a＋b＋c

21

D．a＋b＋c 2

11→→→→1→

解析：选B．如图，连接A′C′，则AO′＝AA′＋A′O′＝AA′＋A′C′＝a＋b＋

222

c.

4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( ) →→→→

A．OM＝3OA－2OB－OC →→→→

B．OM＋OA＋OB＋OC＝0 →→→

C．MA＋MB＋MC＝0 →1→→1→D．OM＝OB－OA＋OC

42

→→→

解析：选C．因为MA＋MB＋MC＝0，

→→→

所以MA＝－MB－MC，所以M与A，B，C必共面．

→→→→

5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且AF＝AD＋mAB－nAA1，则