3．1.2 空间向量的基本定理

1.了解共线向量的概念、向量与平面平行的意义． 2.理解共线向量定理、共面

向量定理、空间向量分解定理． 3．会用适当的基底表示其他向量．

1．共线向量定理

两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb． 2．共面向量定理

3．空间向量分解定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，

y，z，使p＝p＝xa＋yb＋zc，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．( )

(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( )

(3)若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.( ) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．已知λ∈R，则下列命题正确的是( ) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0

答案：C

3．若e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量a，b共线的是( ) 11

A．a＝e1－e2，b＝e1＋e2

2211

B．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2

2311

C．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2

3211D．a＝e1＋e2，b＝e1－e2

22答案：C

4．空间的任意三个向量a，b，3a－2b，它们一定是( ) A．共线向量 B．共面向量 C．不共面向量

D．既不共线也不共面向量 答案：B

共线向量的判定

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1

1→→

上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，判断ME与NF是否共线？

2

→→→→

【解】 由已知可得，ME＝MD1＋D1A1＋A1E 1→→1→→→1→＝BA＋CB＋A1A＝－NB＋CB＋C1C 233→→→→＝CN＋FC＝FN＝－NF. →→所以ME＝－NF， →→

故ME与NF共线．

→→

在本例中，若M、N分别为AD1，BD的中点，证明MN与D1C共线．

证明：连接AC，则N∈AC且N为AC的中点，

→1→所以AN＝AC，

2→1→

由已知得AM＝AD1，

2→→→所以MN＝AN－AM 1→1→1→＝AC－AD1＝D1C. 222→→

所以MN与D1C共线．

判断向量a，b共线的方法有两种

(1)定义法

即证明a∥b，先证明a，b所在基线平行或重合． (2)利用“a＝xb?a∥b”判断

a，b是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出a＝xb，从而得a∥b，即a与b共线．

如图所示，ABCD、ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF→→

的中点，判断CE与MN是否共线？

→→→→1→→1→

解：因为MN＝MC＋CB＋BN＝AC－BC＋BF

221→→→1→→

＝(BC－BA)－BC＋(BA＋BE) 22

1→1→1→→＝－BC＋BE＝－(BC－BE)

222

1→1→→→→→

＝－EC＝CE，所以MN∥CE，即CE与MN共线．

22

共面向量的判定

→1→1→ 已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外的一点，若点M满足OM＝OA＋OB＋

33

1→

OC. 3

→→→

(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内．

→→→→

【解】 (1)由已知，得OA＋OB＋OC＝3OM，

→→→→→→

所以OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)， →→→→→所以MA＝BM＋CM＝－MB－MC， →→→

所以向量MA、MB、MC共面．

→→→

(2)由(1)知向量MA、MB、MC共面，三个向量的基线又有公共点M，所以M、A、B、C共面，即点M在平面ABC内．

→

共面向量定理可用来证明四点共面，也可以证明线线平行，在本题中的一般结论是若OM→→→

＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1，则M、A、B、C四点共面．

如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，

PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面．

证明：分别连接并延长PE，PF，PG，PH交对边于M，N，Q，R.如图所示，