第六单元 正比例和反比例

本单元是在学生已学习了比和比例等知识的基础上进行教学的，主要让学生结合实际认识成正比例的量和反比例的量。通过学习这部分知识，帮助学生加深对过去学过的数量关系的认识，使学生初步学会从变量的角度来认识两个量之间的关系，从而初步体会函数的思想。正比例和反比例的知识在日常生活和生产中有着十分广泛的应用，而且还是学生进一步学习一次函数的重要基础。学好这部分内容，既可以锻炼学生用数学的眼光观察现实生活的意识，发展解决问题的能力，又可以为第三学段的学习奠定扎实的基础。

第1课时 认识成正比例的量(1)

教材第56～57页的内容。

1．经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。

2．在认识成正比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观学生的观察能力和发现规律的能力。

3．进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。

重点：结合实际情境认识成正比例的量的特点，加深对成正比例的量的理解。 难点：能根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例关系。

教材情境图制成的课件。

提问：我们已经了解了一些数量之间的关系，谁来说说你知道哪些常见的数量关系？

引导回顾：

(1)速度 时间 路程 (2)单价 数量 总价

(3)工作效率 工作时间 工作总量

引入：这些是我们已经学过的一些常见数量关系，每组数量之间是有联系的。今天，我们就来研究和认识这种变

化规律。(板书课题：认识成正比例的量(1))

出示例1。

1．探究时间与路程两个量之间的关系。

提问：仔细观察这张表格，它为我们提供了哪些数学信息？(学生自由发言)

引导：表格中的路程和时间有关系吗？说说是怎样的关系？

可先让同桌相互说一说，再组织全班交流。通过交流，使学生初步感知两种量的变化情况。

预设：(1)行驶的路程随着时间的变化而变化。

(2)行驶的时间越长，行驶的路程就越多；行驶的时间越短，行驶的路程就越少。 小结：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。 2．分析时间与路程这两个量的比值。

提问：表格中时间越长，路程越多；时间越短，路程越少。现在我们就来探究时间与路程之间有什么关系。 让学生动手写出几组对应的路程和时间的比，并求出比值。 学生观察比值，发现规律，汇报小结。

（ ）（ ）80160

＝80，＝( )，＝( )，＝( )…… 12（ ）（ ）

引导学生回答：通过计算，我们发现这些比值都相等，它们表示汽车行驶的速度。 提问：谁能用一个式子来表示上面的规律呢？ 路程学生回答，教师板书：＝速度(一定)。

时间

3．揭示正比例的意义。

教师对两种量之间的关系作具体说明：例1中的路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和相对应时间的比的比值总是一定(也就是速度一定)时，行驶的路程和时间成正比例关系，行驶的路程和时间是成正比例的量。

(板书：路程和时间成正比例) 4．正比例意义的应用。

完成教材第57页的“试一试”。

(1)要求学生根据表中的已知条件先把表格填写完整。 (2)根据表中的数据，依次讨论表格下面的问题。 (3)让学生完整地说一说铅笔的总价和数量成什么关系？ 5．用含有字母的式子表示正比例关系。

路程总价

谈话：通过刚才的学习，我们知道了：＝速度(一定)，路程和时间成正比例关系；那么＝单价(一定)，总

时间数量价和数量成正比例关系。如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？

y

根据学生回答，板书：＝k(一定)。

x

1．完成教材第57页“练一练”第1题。

先让学生写出几组比的比值，接着让学生作出判断，并说明判断的理由。 2．完成教材第57页“练一练”第2题。

提问：题中的两种量是否相关联，小组内讨论两种数量之间的关系，并说说两种量是否成正比例关系，为什么？ 学生小组讨论交流，然后全班交流。 3．完成教材第59页练习十第1题。

先让学生独立进行判断，再指名说判断的理由。 4．完成教材第59页练习十第2题。

先让学生说说题目要求我们把已知的正方形按怎样的比放大，放大后正方形的边长各是几厘米，再让学生在图上画一画。

填好表格后，组织学生讨论，明确：只有当两种相关联的量的比值一定时，它们才能成正比例。

这节课你学会了什么？通过这节课的学习，你还有哪些收获？

认识成正比例的量(1)

一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫作相关联的量。 路程80160240

＝80 ＝80 ＝80…… ＝速度(一定) 123时间路程和时间成正比例。 (1)都有两种相关联的量。

(2)一种量变化，另一种量也随着变化。

(3)两种相关联的量相对应的两个数的比值总是一定的。 y

＝k(一定) x

数学来源于生活，又运用于生活。首先选择学生非常熟悉的行程问题，使学生认识到“在速度不变的情况下，路程随着时间的变化而变化，时间扩大，路程也随着扩大”，进而介绍路程和时间这两种量成正比例关系。通过表格列举出两种变化的数量在一定的情况下变化的数据，引导学生进行探究，从而自己发现两种相关联的量，一种扩大(或缩小)若干倍时，另一种也扩大(或缩小)相同的倍数，而且这两种数量对应的数的比值始终不变，从而理解正比例概念的本质特征。在教学中，使学生在观察、思考、探究中获得新知，充分发挥了学生的主体作用，大大地提高了学习效率和学习兴趣。

第2课时 认识成正比例的量(2)

教材第58页的内容。

1．能用“描点法”画出表示正比例关系的图像，帮助学生初步认识正比例的图像，进一步认识成正比例的量的变化规律。

2．能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值，初步体会正比例图像的实际应用，进一步培养学生的观察能力和估计能力。

3．进一步体会数学与日常生活的密切联系，养成积极主动地参与学习活动的习惯。

重点：能认识正比例关系的图像。

难点：利用正比例关系的图像解决实际问题。

教材情境图制成的课件、直尺、铅笔、橡皮。

1．判断下面两种量是否成正比例，并说明理由。 (1)数量一定，总价和单价；

(2)和一定，一个加数和另一个加数； (3)比值一定，比的前项和后项。 学生口答，说出判断的理由。

2．折线统计图具有什么特点？能否把成正比例的两种量之间的关系在折线统计图里表示出来呢？如果能，那又会是什么样子的呢？今天我们就来探究这些问题。(板书课题：认识成正比例的量(2))

1．认识正比例图像。

(1)出示教材第58页例2的方格图。

提问：表中的横轴表示什么？纵轴表示什么？纵轴每格表示多少千米？ 指名学生回答。

(2)出示教材第56页例1的表格。 教师引导学生画图。 ①指导学生描点。

让学生在图中找一找“1小时行80千米”的这个点，并请学生上讲台在黑板上指一指。 引导：表示1小时的竖线与表示80千米的横线相交的点，就表示“1小时行80千米”。 让学生在方格纸中找一找代表其他几组数据的点，并指名板演。 ②连线。

让学生连接图中各点，说说有什么发现。

根据学生的回答小结：我们发现图中所描的点都在同一条直线上。这条直线就是正比例的图像。从直线上的每个点中，我们既能知道汽车行驶的时间，又能知道行驶的路程。这两个量紧密联系，对应的时间和路程用同一个点，点不同，时间和路程也都发生变化，但是它们的比值却是不变的，所以我们就说它是正比例图像。

2．正比例图像的应用。

问题一：根据图像判断，这辆汽车2.5小时行驶多少千米？ 小组讨论交流方法。 学生汇报，教师小结。

2．5在2和3的正中间这个位置，同学们首先要看准，从这点作横轴的垂线，看这条线与图像交于哪一点，再由这一点向纵轴画垂线，看看这条垂线与纵轴的交点。这点表示的千米数就是汽车2.5小时行驶的路程。

学生动手画一画，找一找。

问题二：行驶440千米需要多少小时？ 学生独立完成，汇报交流。

3．小结：我们在根据图像判断时，必须找准对应的点，通过画纵轴或横轴的垂线的方法找准点，读准数。

1．完成教材第58页“练一练”。

学生独立判断，集体订正交流并说明理由。 2．完成教材第60页练习十第4题。

先独立填表，再根据表中的数据描出长度和总价所对应的点，把它们按顺序连起来。组织讨论和交流。 3．完成教材第60页练习十第5题。

出示表格让学生说说题中表示的是哪两种量之间的关系，接着让学生独立绘制表格，并解决问题。

正比例的图像是一条直线，在判断两个量是否成正比例关系时也可以通过图像来判断。根据图像判断数量时可以作对应点的垂线，以减少误差，让估计更准确。

认识正比例的量(2)

画正比例的图像：描点、连线

本节课的教学内容是在上节课学习过“正比例的意义”的基础上展开的，通过学习，进一步引导学生从表格——关系式——图像来加深对正比例意义的理解与掌握。正比例图像的学习是理解正比例的意义的一种途径，通过分析图