1212mv1?2mgr?mv22 机械能守恒2 （3分）

' ?F?T2?T1?6mg （1分）

g'??F6m （1分）

2?FRMm?FM?G2?mg'?6mg （3分） 6m （3分） ∴ (2)R71.宇宙员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量

为m的小球（可视为质点）如图所示，当施加给小球一瞬间水平冲量I时，刚好能使小球在竖直面内做完整圆周运动.已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R，万有引力常量为G. 若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？

解：设月球表面重力加速度为g，月球质量为M. 在圆孤最低点对小球有：I=mv0……①（2分）

∵球刚好完成圆周运动，∴小球在最高点有

v2mg?m…………②（2分）

r从最低点至最高低点有：mg(2r)?112mv0?mv2……③（2分） 22

I2由①②③可得g?（2分）

5m2r∵在月球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度 ∴vmin?GMI?gR?5Rr（2分） R5mr 当环月卫星轨道半径为2R时，有

GMm2?2?m()?2R……④（2分）

T(2R)2

(2R)32

……⑤（2分）将黄金代换式GM=gR代入⑤式（2分） ?T?2?GM(2R)34?m得T?2??10Rr（2分）

IgR2

72.宇航员在某一星球上以速度v0竖直向上抛出一小球，经过时间t，小球又落回到原抛出点，然后他用一根长为l的细绳把一个质量为m的小

球悬挂在o点，使小球处于静止状态。如图所示，现在最低点给小球一个水平向右的冲量I，使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动的过程中

25

始终对细绳有力的作用，则冲量I满足什么条件？

解：设星球表面附近的重力加速度为g，由竖直上抛运动公式：t?2v02v 得g?0。 gt①当小球摆到与悬点等高处时，细绳刚好松弛，小球对细绳无力作用，则小球在最低点

的最小速度为vmin,由机械能守恒定律得：mgl?

由动量定理得：Imin?mvmin。

12mvmin。 2v'2 ②当小球做完整的圆周运动时，设最高点的速度为v'，由mg?m有 v'?gl，若

l经过最高点细绳刚好松弛，小球对细绳无力作用，则小球在最低点的最大速度为vmax。则由机械能守恒定律和动量定理有：

121mvmax?2mgl?mv'2，Imax?mvmax 。 22I?m10v0lv0l和I? tt73.2004年1月4日和1月25日，美国“勇气”号和“机遇”号火星车分别登陆火星，同

时欧洲的“火星快车”探测器也在环火星轨道上开展了大量科学探测活动。科学家们根据探测器返回的数据进行分析，推测火星表面存在大气，且大气压约为地球表面大气压的1/200，

33

火星直径约为地球的一半，地球的平均密度ρ地=5.5×10kg/m，火星的平均密度ρ火=4.0×33

10kg/m。请根据以上数据估算火星大气质量是地球大气质量的多少倍？（地球和火星表面大气层的厚度均远远小于球体的半径，结果保留两位有效数字）

解：在星球表面物体受到的重力等于万有引力：mg?G在星球表面：g?GMm 2RM 4分 R24?3R地43?G??R地 ① 2分 23R地地4?3R火43?G??R火② 2分 火23R火

g地?GM地R2地?G?地

g火?GM火R2火?G?火

由①②得：

g地?地R地11??③ 2分 g火?火R火4星球表面大气层的厚度均远远小于星球半径，即大气压强可以表示为：

P4?R2mg，得m?④ 4分 P?2g4?R26

m火m地2P火R火g地?3 4分 ??3.4?102P地R地g火

74.利用航天飞机，可将物资运送到空间站，也可以维修空间站出现的故障。为完成某种空间探测任务，在空间站上发射的探测器通过向后喷气而获得反冲力使其启动。已知探测器的质量为M，每秒钟喷出的气体质量为m，为了简化问题，设喷射时探测器对气体做功的功率为P，在不长的时间t内探测器的质量变化较小，可以忽略不计。求喷气t秒后探测器获得的动能是多少？

解:由Pt?12mtv2 ③得v??mt2PMm

得v?2Pm 又Mv??mtvE1mPt22k?2Mv??M

27

④