01011010(1)01011010111A1111(2)11111111

【解析】 将4?4的方格进行黑白相间染色，如右图所示

每个小格同时加1或减1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图⑴知这个差是8，由图⑵可知：白格数之和?黑格数之和?(A?7)?8?8，所以A?9．

【例 45】 如图，图1的8?8方格中交替填满了0和1，图2是从图1中任意位置截取的、、

三种图形，并对每种图形进行操作：每个小方格同时加1或同时减1，如此反复多次，再

将这三种图形不重叠地拼成的．问：图2中的A格中的数字应该是多少？

10011001011010101010101011010101111111111111111111111111111111101110011001100110010101111111111111A11111111011100110图1111111图2010111

【解析】 此题似乎脱离了染色问题，问的是数字，但注意到图1中0和1的交替，想到将8?8方格自然染色

(如右图)

则黑格里全为1，白格里全为0．而题中的三种图形，2?2方格必占2白2黑，2?3的方格必占3白3黑，黑白格数都相同．再想到对它们的操作：每个小格同时加1或减1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，三种图形拼出的图2中这个差也应该不变．于是对比图1和图2，

图1中：黑格数字和?白格数字和?32；

图2中：黑格数字和一白格数字和?(31?A)?32，即

(31?A)?32?32，得A?33．

【例 46】 老师在黑板上画了9个点，要求同学们用一笔画出四条首尾顺次相连并通过这9个点的线段。你能办

到吗?

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【解析】 大家开始尝试多次之后可能会得出“不可能”的结论，但是大家不要忽略一点，题中并没要求所

有折线只能限定在这9个点的范围之内。我们把折线的范围冲破图中9个点所限定的正方形，那么问题就容易解决了，如右图。

【例 47】 右图是一个4?5的方格盘．先将其中的4个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格

与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑．这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？

【解析】 开始时染黑4个方格，这4个方格的总周长不会超过4?4?16，以后每染一个格，因为这个格至

少与两个黑格有公共边，所以染黑后，所有黑格的总周长不会增加．也就是说，所有黑格的总周长永远不会超过16，而4?5方格盘的周长是18，所以不能将整个方格盘都染成黑色．

【例 48】 将一张正方形纸片，横着剪4刀，竖着剪6刀，裁成尽可能大的形状大小一样的35张长方形纸

片．再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片．如果小正方形边长为2厘米，那么大正方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由．

【解析】 大正方形纸片被横着裁成5份，竖着裁成7份，所以裁成的长方形纸片的长宽比为7:5，若将这

样的纸片切割成尽可能大的正方形纸片，则正方形纸片边长应该为长方形纸片长、宽的公约数，而?7,5??1，所以长方形纸片的宽是小正方形纸片的边长的5倍，2?5?10，所以长方形纸片宽10厘米，大正方形纸片边长为10?7?70厘米．所以大正方形纸片的面积为70?70?4900平方厘米．

【例 49】 能否把2002台电话中的每台电话恰好与其它5台相连？ 【解析】 题目引入：假如你是一个工程师，专门设计程控电话网络，很有科技含量哦！如果我们可以把6个电话或8个电话做到每台电话与5个电话相连接，我们可以将2002分成6个一组的共331组以及8个一组的共2组．如下图，每个点代表一台电话，每条线段表示其两个端点为相连接的两台电话，左图为6台电话的情形，右图为8台电话的情形．所以我们可以把2002台电话中的每台电话恰好与其它5台相连．

【例 50】 有一长为1l cm，宽为9cm，高为7cm的长方体木块，能否切割成77块长、宽都是3cm，高是

1cm的长方体形状的积木块?说明理由．

【解析】 木块体积为11?9?7?693立方厘米．77块3?3?1立方厘米的积木也恰为693立方厘米．如果能

将11?9?7立方厘米的木块切割为77块3?3?1立方厘米的积木．那么11?7的侧面将被小积木的侧面盖满．而小积木侧面面积要么是3平方厘米，要么是9平方厘米．从而11?7应被3整除，但这不成立．

所以长为11cm，宽为9cm，高为7cm的木块不能切割成77块3?3?1立方厘米的长方体积木．

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15（图中的数是所在长方形短边之长）2612

拓展：长边和短边的比例都是2：1的长方形称为基本长方形，用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个长方形之间：①没有重叠部分；②没有空隙．试用短边互不相同且最小短边为1的五个基本长方形拼接一个更大的长方形，若a1=1

例如(1，2，5，6，12)就可以拼成一个长方形(见右图)，是一个解答．请尽可能多地写出其他的解答(不必画图)．注意示意图是用解答中5个基本长方形拼成的一个长方形的具体拼图方法．其他方法可能存在，但不能算另一种．

【例 51】 一张长14厘米、宽11厘米的长方形纸片最多能裁出多少个长4厘米、宽l厘米的纸条?怎样裁?

请画图说明．

【解析】 这张纸的面积为154平方厘米，每张纸条的面积为4平方厘米．

154?4?38.5因此，最多能裁38张小纸条，下面画出两种不同的裁法 第一种裁法：

211819202223303132292425262827363738333435171615 第二种裁法：

2526272829303132333435

151617181920212223243637381234567891011121314

【例 52】 （第六届“从小爱数学”邀请赛决赛第8题）意大利数学家斐德利哥(P．J．Federico)用23

块大大小小都不一样的正方形填满了长、宽之比正好等于1：2的矩形，他的办法被人称为“矩形的完全正方形分解”，前几年曾是图论领域里颇为轰动的一桩新闻．他的一位顽皮的小外甥问舅舅要去了答案，可是，小家伙漫不经心，竟把最重要的数据——每个正方形的边长——几乎统统忘得一千二净．幸好，舅舅的图形还在，不过基本上成了一个没有数据的空壳子．另外，他只记得图中有两个正方形的边长是4与8．当然，所有正方形的边长全部都是自然数．有没有办法把全部数据复原?(只需将正方形的边长填人图中相应的正方形内)

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48【解析】 如图

42728175191928632542624814221516604342723

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