发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑．要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等．但从染色后整个图来看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住．

【巩固】 用11个

和5个

能否盖住8?8的大正方形？

【解析】 如右图，对8?8的正方形黑白相间染色后，发现

必然盖住2白2黑，5个则盖住10白10黑．则盖住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数．而这种形状共11个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种形状的10白10黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格．但实际染色后共32个白格32个黑格，故不可能按题目要求盖住．

注意：本题中每个盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或33黑11白，因为可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白．这是一个容易犯错的地方．

【例 35】 在8?8的网格正方形(如图1)中用图2形状的图形来覆盖，要求图2的分割线落在正方形的网

格线上．为使所余部分不能再放下图2形状的图形，最少需用图2形状的图形 个．

821128

图1 图2

【解析】 最少需要图2形状的图形11个．每个2?2的正方形至少被覆盖住2个小方格，才不能再放下图

2形状的图形．在8?8的正方形中有16个2?2的正方形，因此至少需要覆盖住2?16?32个小方格．而要覆盖住32个小方格至少需要11个图2形状的图形(10个只能覆盖3?10?30个小方格)． 具体覆盖方法很多，这里仅给出几种供读者参考．(如下图)

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【例 36】 用若干个2?2和3?3的小正方形能不能拼成一个11?11的大正方形？请说明理由． 【解析】 如图所示，

将2?2或3?3的小正方形沿格线摆在右图的任何位臵，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有77个，是奇数，所以只用2?2和3?3的小正方形，不可能拼成11?11的大正方形．

【巩固】 1个2?2正方形和15个4?1长方形能不能拼出8?8的大正方形?请说明理由． 【解析】 若仍然将8?8的大正方形黑白相间染色，则2?2和4?1两种形状盖住的都是两白两黑．必须寻找

其他的染色方法．新的方法必须使得2?2和4?1长方形无论放在何处，都分别符合一定的规律．采用如右图的染色方法，

则：4?1长方形必盖住两黑两白，共15个4?1，盖住30黑30白；2?2长方形可盖住3白1黑或3黑1白．可以发现，总共只能盖住31黑33白或31白33黑，而图中实际有32个黑格32个白格，故不可能用15个4?1和1个2?2的长方形盖住8?8的大正方形．对区域染色也可理解为对多个方格染色，但此时方格染色范围更广，染色方案更加灵活．

【例 37】 有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是1?2?4．现有一批现成的木箱，内空尺寸是

6?6?6，问：为什么不能用这些商品将木箱装满?

【解析】 采用如右图的染色方法．

每件1?2?4的商品必占4个白的小立方体和4个黑的小立方体．在整个大正方体中，2?2?2的黑正方体共有5?4?5?14(个)．故1?1?1的黑正方体共：14?2?2?2?112(个)．白正方体共：6?6?6?112?104(个)．可见，1?1?1的小立方体黑白总数不等，而每件1?2?4的商品能占的黑白小立方体个数相同，故不可能用这种商品装满木箱而没有空隙．

模块三、操作问题（计算）

【例 38】 对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作．现

在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？

【解析】 同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到

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这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100．当然，连续操作 下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100．因为 这一过程很长，所以这不是好方法．我们可以从另一个方面来考虑，因为231和121都是11的倍 数，而2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数．100不是11的倍数，所 以不可能出现．

【巩固】 小牛对小猴说：“对一个自然数n进行系列变换：当n是奇数时，则加上2007；当n是偶数时，

则除以2．现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008．”小猴说：“你骗人！不可能出现2008．”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？

【解析】 试着按照规则进行变换，得到的结果依次如下：2004，1002，501，2508，1254，627，2634，1317，

3324，1662，831，2838，…… 从中发现不了什么规律，所以应该从另外的角度进行分析．观察可知2004和2007都是3的倍数，那么不论变换多少次，得到的数也还是3的倍数．而2008不是3的倍数，所以不可能出现2008．

【例 39】 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、??、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面

朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、??、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？

【解析】 从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009

个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．

本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．

【巩固】 先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8

的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：6 2 8 1 0 1 1 2 3 ??则这个整数的数字之和是（ ）。

【解析】 这个2006位整数的前若干位如下：62810┊1123581347┊11……从第6位起，每10位数字循环

出现一次，这10位数字之和为 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 + 3 + 4 + 7 = 35。（2006－5）÷10=200……1，这个整数的数字之和是 6 + 2 + 8 + 1 + 0 + 35×200 + 1 = 7018。

【例 40】 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上．开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0．然

后转动圆盘，每次可以转动90?的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上．问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？

010420

【解析】 不可能．因为每次加上的数之和都是1?2?3?4?10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数

倍．而999?4?3996，不是10的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999．

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【例 41】 如右图所示，将1?12顺次排成一圈．如果报出一个数a（在1?12之间），那么就从数a的位置

顺时针走a个数的位置．例如a?3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a?11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置．问：a是多少时，可以走到7的位置？

121110986751234

【解析】 不存在．当1≤a≤6时，从a的位臵顺时针走a个数的位臵，应到达2a的位臵；当7?a?12时，

从a的位臵顺时针走a个数的位臵，应到达2a?12的位臵．由上面的分析知，不论a是什么数，结果总是走到偶数的位臵，不会走到7的位臵．

【例 42】 （难度等级 ※※※）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色且相邻的两个棋子之间放

入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉。如果第一幅图的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有 个。

【解析】 5个棋子2种颜色，至少有2个相同颜色的棋子相邻，所以无论操作多少次，5个棋子中至少有1

个是白子，所以黑子最多有4个。实际操作得到： 所以最多有4个

【例 43】 对于表⑴，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加

上的数可以不同），变为表⑵？为什么？

14723568(1)910101000(2)1

【解析】 因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于

原来的总和加上或减去那个数的2倍， 因此总和的奇偶性没有改变．原来九个数的总和为1?2???9?45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而表⑵中九个数的总和是4，是个偶数．奇数不可能等于偶数，所以不可能变成表⑵．

【例 44】 在图⑴的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算一次操作，经

过若干次操作后变为图⑵，问：图⑵中的A格中的数字是几？

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